高数教案第十章重积分.doc

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1、高等数学教案章节题目第十章重积分§10-1二重积分的概念及性质课型理论课教学目的理解二重积分的概念，了解二重积分性质。重点二重积分的概念，性质难点如何运用二重积分的性质去解决问题参考书目同上教具教学后记教学过程（一）、复习上节内容（二）、讲授§10-1二重积分的概念及性质一、二重积分的概念（一）引例1.曲顶柱体的体积2.平面薄片的质量（二）二重积分的定义1．定义：2.几个事实二、二重积分的性质三、二重积分的几何意义（三）、本次课内容小结（四）、布置作业36第十章重积分§10-1二重积分的概念与性质一、二重积分的概念（一）引例1.曲顶柱

2、体的体积设有一空间立体,它的底是面上的有界区域,它的侧面是以的边界曲线为准线,而母线平行于轴的柱面,它的顶是曲面。当时,在上连续且,以后称这种立体为曲顶柱体。曲顶柱体的体积可以这样来计算:(1)用任意一组曲线网将区域分成个小区域，，，，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体分划成个小曲顶柱体，，，。（假设所对应的小曲顶柱体为,这里既代表第个小区域,又表示它的面积值,既代表第个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)图10-1-1从而(将化整为零)(2)由于连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此

3、,可以将小曲顶柱体36近似地看作小平顶柱体,于是(以不变之高代替变高,求的近似值)(3)整个曲顶柱体的体积近似值为(4)为得到的精确值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。设个小区域直径中的最大者为,则2.平面薄片的质量设有一平面薄片占有面上的区域,它在处的面密度为,这里,而且在上连续,现计算该平面薄片的质量。图10-1-2将分成个小区域，，，，用记的直径,既代表第个小区域又代表它的面积

4、。当很小时,由于连续,每小片区域的质量可近似地看作是均匀的,那么第小块区域的近似质量可取为36于是两种实际意义完全不同的问题,最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景,给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。（二）二重积分的定义1．定义：设是闭区域上的有界函数,将区域分成个小区域,其中,既表示第个小区域,也表示它的面积,表示它的直径。作乘积作和式若极限存在,则称此极限值为函数在区域上的二重积分,记作。即其中:称之为被积函数,称之为被积表达式,称之为面积元素,称之为积分变量,称之为积分区域,称之为积分和

5、式。2．几个事实(1)二重积分的存在定理若在闭区域上连续,则在上的二重积分存在。声明:在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。(2)中的面积元素象征着积分和式中的。36图10-1-3由于二重积分的定义中对区域的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将记作(并称为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为。(3)若,二重积分表示以为曲顶,以为底的曲顶柱体的体积。二、二重积分的性质二重积分与定积分有相类似的性质1.线性性其中:是常数。2

6、.对区域的可加性若区域分为两个部分区域,则3.若在上,,为区域的面积,则几何意义:高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。4.若在上,,则有不等式36特别地,由于，有5.估值不等式设与分别是在闭区域上最大值和最小值,是的面积,则6.二重积分的中值定理设函数在闭区域上连续,是的面积,则在上至少存在一点,使得7、对称性（偶倍奇零）设函数在闭区域上连续,关于x轴对称,位于x轴上方的部分为,在上则则当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍有类似结果.例1比较下列各对二重积分的大小（1）与，其中。（2）与，其中是三角形区域，三顶

7、点分别为。例2判断积分的正负号.[负]例3估计下列积分之值[1.96£I£2]三、二重积分的几何意义361．若，表示曲顶柱体的体积2．若，表示曲顶柱体的体积的负值3．表示曲顶柱体的体积的代数和例4.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.[]小结：二重积分的定义（和式的极限）；二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）；二重积分的性质。作业：习题10-1（P136）基础题：4(1);5(1)36高等数学教案章节题目第十章重积分§10-2二重积分的计算法（一）课型理论课教学目的深刻理解二重积分的计算方法和基本技巧重点熟练掌握二重积分计算难点

8、对积分区域的划分参考书目同上教具教学后记本节内容掌握的不够理想。教学过程（一）、复习上节内容（二）讲授§10-2二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分1、-型区域，-型区域。2、二重积分化二次积分时应注意的问题3．