微分方程ppt课件.ppt

《微分方程ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第六章微分方程6.1微分方程的基本概念6.2一阶微分方程6.3可降阶的二阶微分方程6.4二阶线性微分方程6.5微分方程的应用举例16.1微分方程的基本概念定义例偏微分方程.常微分方程.2微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之为微分方程的阶.一阶微分方程:高阶微分方程:注意:注意:3线性与非线性微分方程：4微分方程的解:等式的函数称之为微分方程的解.代入微分方程能使方程成为恒5微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解:不包含任何任意常数的解.6初值问题:求微分

2、方程满足初始条件的解的问题.过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初始条件:用来确定任意常数的条件.通解的图象:微分方程的积分曲线族.解的图象:微分方程的积分曲线.7解8所求特解为9注意：10思考题解答中不含任意常数,故为微分方程的特解.思考题116.2一阶微分方程12一.可分离变量的微分方程则称原微分方程为可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程13解法：称为所给可分离变量微分方程的隐函数形式的通解.14例1求微分方程解分离变量两端积分15例2解16二.齐次方程定义的微分方程称为齐次方程.17解法:令,代入原方

3、程，得可分离变量的微分方程.18例3求解微分方程微分方程的解为解19例4求解微分方程解微分方程的解为20三.一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:(1)称为齐次方程.(1)称为非齐次方程.例如线性的;非线性的.211.先求线性齐次方程的通解：一阶线性微分方程的解法齐次方程的通解为用分离变量法222.再求线性非齐次方程的通解：讨论非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比，不难看出：23只要在齐次方程的通解中，积分得24故一阶线性非齐次微分方程的通解为:称为常数变易法.把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法，对应齐次方程通解非齐次方程特解25解例1

4、26例2如图所示，平行于轴的动直线被曲线与截下的线段之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.解两边求导得27代入方程，得故所求曲线为28伯努里(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.解法:需经过变量代换化为线性微分方程.四.伯努里方程（Bernoulli，1654-1705，瑞士）29代入上式,得30解例331例4用适当的变量代换解下列微分方程:解代入原方程，得故原方程的通解为32解所求通解为331、分离变量法步骤:1）分离变量;2）两端积分-------隐式通解.小结2、齐次方程3.线性非齐次方程4.伯努里方程3

5、46.3可降阶的二阶微分方程35解3637解3839例3解140解241例4解1解2故通解为42解3两边积分,得故通解为436.4二阶线性微分方程二阶线性微分方程的一般形式方程为齐次方程；方程为非齐次方程.n阶线性微分方程44一.二阶线性微分方程解的性质与通解的结构问题:1.二阶齐次方程解的结构:定理1（齐次方程解的叠加原理）45证代入方程（1）的左端，得证毕46定义例如线性无关.线性相关,47定理2证明略推论例如：线性无关，线性无关，线性无关.48定理3（齐次线性方程通解结构）证492.二阶非齐次线性方程的解的结构:定理4（非齐次线性方程通解的结构

6、）证5051定理5（非齐次方程解的叠加原理）证明略52二.二阶常系数线性齐次方程的解法二阶常系数线性齐次方程的标准形式53——特征根法541*特征方程有两个不相等的实根552*特征方程有两个相等的实根此时，只得到方程(1)的一个特解=0=0563*特征方程有一对共轭复根575859解特征方程为解得特征根故所求通解为例1解特征方程为解得特征根故所求通解为例260解61二阶常系数线性非齐次方程对应齐次方程非齐次方程通解结构关键：方法：待定系数法.三.二阶常系数线性非齐次方程的解法62代入原方程得63综上所述64解对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,

7、得故原方程通解为例165作辅助方程6667注意：68解作辅助方程代入（*），得例2对应齐次方程的通解（取虚部）原方程的特解为原方程通解为69例3解1对应齐次方程的通解作辅助方程代入辅助方程，得70原方程的特解为原方程通解为（取实部）71解2对应齐次方程的通解代入原方程，得原方程的通解为726.5微分方程的应用举例解7374解75特征根为76解777879解80特征方程特征根81