《微分方程讲义》PPT课件.ppt

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1、数学模型•动态模型北京理工大学王宏洲（微分方程模型）关于动态模型动态模型描述对象特征随时间(空间)的演变过程分析对象特征的变化规律预报对象特征的未来性态研究控制对象特征的手段根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模根据建模目的和问题分析作出简化假设按照内在规律或用类比法建立微分方程微分方程模型的不同目的预测某个时刻的状态，或者希望了解整个过程中不同时刻的状态；预测事物的长远发展趋势，了解事物长期运行下存在哪些规律。行星定位；预测短期人口；预测生物种群数量…求解析解、数值解描绘行星运动轨道；人口稳定数量…利用微分方程定性理论，不求解，分析解的性

2、态此前接触过的微分方程模型马尔萨斯人口模型阻滞增长人口模型（Logistic模型）NNN将自然环境、资源的阻滞作用考虑进来。本部分的主要内容传染病模型药物动力学房室模型糖尿病的诊断香烟过滤嘴的功效烟雾的扩散与消失减肥计划新的人口模型离散人口模型Lanchester战争模型自二十世纪七十年代以来，传染病再度肆虐人类，其主要表现有：被认为早已得到控制的传染病卷土重来，如结核病、STD、白喉、登革热、霍乱、鼠疫、流行性脑脊髓膜炎和疟疾等等。新发现数十种新传染病，如：AIDS、军团病、丙型肝炎、戊型肝炎、出血性结肠炎、SARS……我国目前有5亿人曾感染结核杆

3、菌，2000年第四次全国结核病流行病学抽样调查发现，我国的活动性肺结核患病率为367/10万，痰涂片阳性患病率为122/10万，估计我国现有活动性肺结核病人451万。1、传染病概况一、传染病模型AIDS正在全球范围迅速蔓延，尤其以非洲、东欧和中亚地区最为严重。据WHO估计，自首例艾滋病被发现以来至2003年底，全球约有34-46millionHIV感染者和艾滋病患者，2000万人死亡。我国近年来HIV感染人数以每年30%的速度增长。目前全国报告HIV感染者4万余人，估计约有感染者100万人(84万,WHR2004)感染者主要分布在农村地区，男女比例约

4、为5.2:1，其中20-29岁年龄组占57%。经静脉途径感染约占72%。2、导致新发传染病的主要因素人类的人口增长和行为改变工业技术进步经济发展和土地开发利用国际旅游和商贸活动微生物适应与改变公共卫生措施的失衡……3、传染病的流行病学分类1、按传播方式分类：接触传播；经水和食物传播；经空气传播；经生物媒介传播；围产期传播2、按病原体在自然界的储存形式分类：人；动物；土壤；水4、流行环节与影响因素病人携带者受感染动物传染源传播途径接触水食物医源性垂直媒介土壤易感人群社会因素经济政治文化宗教风俗自然因素气候地理5、患病过程(1)潜伏期(incubatio

5、nperiod)：自病原体侵入机体到临床症状最早出现的这段时间称为潜伏期。(2)临床症状期:出现该病特异性症状和体征的时期,是最主要自的传染期，因为此时病原体在人体内大量繁殖。(3)恢复期:某些传染病临床症状消失后的一段时间内仍可排出病原体,继续作为传染源。(4)传染期（communicableperiod):病人排出病原体的整个时期为传染期6、传播途径(routeoftransmission)1、经空气传播(air-bornetransmission)麻疹、流感2、经水传播(water-bornetransmission)霍乱、伤寒、细菌性病疾及甲

6、型肝炎等3、经食物传播(food-bornetransmission)某些寄生虫病，结核、白喉等4、接触传播(Contacttransmission)狂犬病等5、经昆虫、动物传播6、经土壤传播(soil-bornetransmission)7、医源性传播(iatrogenictransmission)建立传染病要考虑的因素非常多，如传染速度、医疗能力、死亡、新生人口数量、人口年龄性别结构等。具体到不同的疾病，还有传播途径、发作速度等问题。此外，传染病模型可以参照用于讨论计算机病毒的传播特征等方面。模型目标问题描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规

7、律预报传染病高潮到来的时刻预防传染病蔓延的手段按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型模型假设基本假设：传染病是由病人通过“接触”健康人进行传播的.疾病流行区域内的人分为三类：S类——易感人群；I类——病人；R类——移出者。为简单起见，假设本地区总人口不变，为N。1、SI模型（只考虑S和I两类人）(1)除染病、不染病之外，人群的个体之间没有差异。病人与易感者的个体在人群中混合均匀，即S类、I类人群的数量只与时间有关。记s(t)为t时刻健康人占总人口的比例i(t)为t时刻病人的比例，则s(t)+i(t)=1。1、SI模型（只考虑S和I两类人）(2

8、)人群数量足够大，只考虑传播过程中的平均效应，即函数s(t)和i(t)可以视为连续且可微的。(3)每个I类的