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1、§4.5常系数非齐次线性微分方程组的通解与方程(4.5.1)的一个特解之和.上一节我们考虑常系数非齐次线性微分方程组(4.5.1)(4.5.2)其对应的齐次线性微分方程组为维列向量这里是实常数矩阵,是函数.根据解的结构定理知,方程(4.5.1)的通解为(4.5.2)研究了方程(4.5.2)通解的求法,这一节我们只研究(4.5.1)的特解即可.一、常数变易法方程组（4.5.2）的基解矩阵为而，因此常系数非齐次方程组（4.5.1）的通解为(4.5.3)这里c为任意常数列向量.方程组（4.5.1）满足初始条件的解为(4.5
2、.4)例4.5.1利用常数变易法求解初值问题解:首先,我们求矩阵公式（4.5.4）称为方程组（4.5.1）的常数变易公式.因此矩阵有特征根对有特征向量进而得到对应的齐次方程组的一个解的矩阵指数的特征方程为对有特征向量因此由定理4.14知,对应的齐次方程有解这样可以得到齐次方程组的解矩阵因此又因为故是齐次方程组的基解矩阵,且由公式(4.5.4)得,原方程的解为二、线性变换法对一些特殊的方程组,如方程组(4.5.1)的系数矩阵有个不同的特征向量则系数矩阵可化为对角矩阵其中是的特征根.此时,可采用线性变换其中把方程组(4.
3、5.1)化为(4.5.5)这里注意到(4.5.5)是个相互独立的方程(4.5.6)这里故可以直接求出它的解再利用变换即可求得方程(4.5.1)的解.例4.5.2求方程组解:系数矩阵的特征方程为的通解.因此矩阵有特征根对有特征向量对有特征向量因此,矩阵及其逆矩阵分别为设则把原方程化为即解上面的方程得则原方程组的通解为即三、待定系数法同n阶常系数非齐次线性方程一样,某些常系数非齐次线性方程组也可以用待定系数法求其特解,如方程组(4.5.1)中为多项式与指数函数的乘积时就可以用待定系数法来求其通解.例4.5.3求方程组解:
4、系数矩阵的特征方程为的一个特解.因此矩阵有特征根因为不是特征根,故可设特解形式为把代入方程组,得解得从而得原方程的特解为例4.5.4求方程组解:系数矩阵的特解.的特征方程为有特征根故可设特解形式为代入方程组,得比较t的同次幂的系数,可得代数方程组解上述方程得选取则得原方程组的特解为用Maple求齐次方程的解为restart:diffeq11:=diff(x1(t),t)=-5*x1(t)-x2(t);diffeq12:=diff(x2(t),t)=x1(t)-3*x2(t);sys1g:=dsolve({diffeq
5、11,diffeq12},{x1(t),x2(t)});关于常系数非齐次线性微分方程组的解法,这里介绍了三种方法,其中常数变易法具有一般性,而线性变换法和待定系数法都具有某种局限性.前面我们还介绍了消元法和首次积分法,这些方法仍然是有效的,下面举例比较各种方法的优劣.不取定常数时非齐次线性微分方程组的特解为例4.5.5求方程组解法1(常数变易法):系数矩阵的特征方程的特征根为的通解.相应的特征向量分别为(4.5.7)因此,可求得(4.5.7)对应的齐次方程组的基解矩阵及其逆矩阵为因而,其通解为解法2(待定系数法):由
6、解法1知,方程(4.5.7)对应的齐次方程组的通解下面利用待定系数法求方程组的一个特解.方程组中的可表示为则方程组(4.5.7)可改写为因为不是(4.5.8)中系数矩阵的特征根,所以(4.5.7)特解形式为这里待定.把代入(4.5.8)得(4.5.8)即有比较上式左右两边得同次幂的系数得求解得(4.5.9)(4.5.10)因此方程组的特解为故原方程的通解为解法3(线性变换法):系数矩阵的特征方程的特征根为相应的特征向量分别为由特征向量构成的矩阵及其逆矩阵分别为设则把原方程化为即解上面的方程得则原方程组的通解为解法4(
7、消元法):把方程组(4.5.7)写为由(4.5.11)的第一个方程得(4.5.11)将(4.5.12)代入(4.5.11)第二个方程得(4.5.13)(4.5.12)求解方程(4.5.13)得其通解为(4.5.14)将(4.5.14)代入(4.5.12)得作业P242习题4.55课堂练习：求方程组的通解
