《阶常微分方程》PPT课件

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1、解一、问题的提出微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.分类1:常微分方程,偏微分方程.微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.一阶微分方程高阶(n)微分方程分类2:分类3:单个微分方程与微分方程组.微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始

2、条件:用来确定任意常数的条件.过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.解所求特解为微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)可分离变量的微分方程:2.两边同时积分:解可简写为：例解例例.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为2.可化为分离变量的某些方程(1).齐次方程形如令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例解微分方程解:代入原方程得分离变量两边

3、积分得故原方程的通解为(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)例解是齐次方程,例.解微分方程解：将右端函数的分子，分母同时除以自变量x此为齐次方程，令分离变量，再两边积分将u带回得(2).型方程作变换例.求方程的通解解：令则得方程通解为将代回得原方程通解(3)形如解代入原方程得分离变量、积分得得原方程的通解方程变为3、一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.例如线性的;非线性的.齐次线性方程1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；3、方程(1)

4、的任意一个解加上方程(2)的任意一个解是(2)的解；4、方程(2)的任意两个解之差是(1)的解.线性方程解的性质非齐次线性方程那么方程(2)的通解为那么方程(2)的通解为对应齐次方程的通解非齐次方程特解的特解,线性方程解的叠加性质和的一个特解.齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法使用分离变量法形式求积：形式求解的结果给了我们重要启示：若方程有解，其解必先来观察，若（1）有解，其解形状如何？对方程作形式求解：将（1）改写成上述解方程的方法，叫做常数变易法，用于求解线性非齐次方程。将y和代入（1）：齐次方程通解非齐次方程特解即解：也可以

5、直接代公式求解解：若将方程写为它显然不是线性方程，将方程改写作解：因“＝”右端均为可导函数，故左端也可导，两边对x求导例用常数变易法求一阶线性方程通解解：齐次方程通解：用常数变易法，令代入原方程得即故通解为例用通解公式求一阶线性方程的通解解：则通解为严格的说，上式仅当时才成立。当x<0时伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)例求方程的通解解：这是伯努力方程，其中则