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《常微分方程―可降阶、解的结构ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组第8章常微分方程高等数学A8.3几种高阶微分方程的解法8.3.1可降阶的高阶微分方程8.3.2二阶线性微分方程—解的结构8.3几种高阶微分方程的解法8.3.1可降阶的高阶微分方程模型1→习例1-2模型2→习例3-4习例5-68.3.2二阶线性微分方程模型3→二阶线性方程的定义函数组的线性相关和线性无关二阶齐次线性微分方程解的结构二阶非齐次线性微分方程解的结构习例8-10可降阶微分方程与二阶线性方程模型1质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动,设力F随着时间的增大,此力F均匀地减小,直到t
2、=T时F(T)=0.如果开始时质点在原点,且初速度为0,求质点的运动规律.解:据题意有仅是时间t的函数:F=F(t).在开始时刻t=0时对方程两边积分,得一、可降阶的高阶微分方程利用初始条件于是两边再积分得再利用故所求质点运动规律为令因此即同理可得依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.1、型的微分方程例1.例2.例1.解:例２解模型2.作用而下垂，问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?解:取坐标系如图.考察最低点A到任意点M(x,y)弧段的受力情况:(:密度,s:弧长)弧段重力大小按静力平衡条件,有故有设有一均匀柔软的绳索，两端固
3、定,绳索仅受重力A点受水平张力HM点受切向张力T两式相除得则得定解问题:原方程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索的形状为悬链线型的微分方程设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解2、例3.求解例4.设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,绳索仅受重力作用而下垂,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?例３.求解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为例4.绳索仅受重力作用而下垂,解:取坐标系如图.考察最低点A到(:密度,s:弧长)弧段重力大小按静力平衡条件,有故有设有一均匀,柔软的绳索,两端固
4、定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?任意点M(x,y)弧段的受力情况:A点受水平张力HM点受切向张力T两式相除得则得定解问题:原方程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索的形状为悬链线3、型的微分方程令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解例５.求解例６.解初值问题例５.求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:例６.解初值问题解:令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,模型3.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:
5、阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻t物体位移为x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(胡克定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.二、二阶线性微分方程据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:n阶线性微分方程的一般形式为模型3的两个方程的共性(二阶线性微分方程)—可归结为同一形式:时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.复习:一阶线性方程通解:非齐
6、次方程特解齐次方程通解Y定义8.3.1是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间I上都线性无关.若存在不全为0的常数1.函数组的线性相关和线性无关结论例７.证朗斯基(Wronsky)行列式朗斯基行列式可以推广到n个函数的情形。例2.二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构定理8.3.1叠加原理的解，则它们的线性组合也是方程(2)的解，证的解，则它们的线性组合也是
7、方程(2)的解。推广在什么情况下，叠加所得可以成为方程(2)的通解？定理8.3.2是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)推论.是n阶齐次方程的n个线性无关解,则方程的通解为则3.线性非齐次方程解的结构是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理8.3.3则是非齐次方程的通解.证:将代入方程①左端,得②①是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而②也是通解.定理8.3.4分别是方程的特解,
8、是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理8.3.3和定理8.3.4均可推广到n阶线性非齐次方程.定理8.3.5是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程
