《可降阶微分方程》PPT课件

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1、分离变量:§7.2可分离变量微分方程解分离变量的方程1.可分离变量方程的概念第七章(只需两边求不定积分)若=则称(1)为可分离变量的方程(1)(2)§7.1微分方程基本概念(略)形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再还原便得原方程的通解.2.解法:分离变量:§7.3齐次方程1.定义若令可化为可分离变量的形如的方程的方程形如原方程为上述类型当时,令(b≠0)1).2).当时,有惟一解(x,y)=(h,k)通过变量代换化非标准类型为已知类型方程是常用的方法如P315第7题令令形如令均可化为可分离变量的.令可分离…可分离…可分离…一阶线性非齐次方程的通解伯努利方程令求出

2、此方程通解后,换回原变量即得伯努利方程的通解.(线性方程)原方程化为一阶线性齐次方程的通解简单复习§7.41.连续函数满足下列方程:解:令又求则两边求导得(一阶线性非齐次)通解=0,所以C=－1．则注:…判别:P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,①为全微分方程则2.求解方法及步骤:方法有三种(参见P149,二元函数的全微分求积)求原函数u(x,y)由du=0知通解为u(x,y)=C.则称为全微分方程(或恰当方程).①1.定义:若存在使,简单复习§7.53.积分因子(恰当因子)使为全微分方程,在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.若存在连续可微函数积分因

3、子.常用微分倒推公式:§7.6可降阶高阶微分方程一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程第七章(不显含y)(不显含x)二阶微分方程一、令因此即同理可得依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.型的微分方程连续n次不定积分(且不要常数)为n-1次多项式.例1.解:积分不要常数所以通解为:例2.质量为m的质点受力F的作用沿ox轴作直线运动,在开始时刻随着时间的增大,此力F均匀地减直到t=T时F(T)=0.如果开始时质点在原点,解:据题意有t=0时设力F仅是时间t的函数:F=F(t).小,求质点的运动规律.初初速度为0,且对方程两边积分,得利用初始条件于是两边再积分得再利用故所求

4、质点运动规律为型的微分方程设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解二、例3.求解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为例4.绳索仅受重力作用而下垂,解:取坐标系如图.考察最低点A到(:密度,s:弧长)弧段重力大小按静力平衡条件,有故有设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?任意点M(x,y)弧段的受力情况:A点受水平张力HM点受切向张力T两式相除得则得定解问题:原方程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索的形状为悬链线(好处在后面)(好处)三、型的微分方程令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的

5、通解例5.求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:M:地球质量m:物体质量例6.静止开始落向地面,求它落到地面时的速度和所需时间(不计空气阻力).解:如图所示选取坐标系.则有定解问题:代入方程得积分得一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由两端积分得因此有注意“－”号由于y=R时由原方程可得因此落到地面(y=R)时的速度和所需时间分别为例6.解初值问题解:令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得分离变量显化例7.求方程的通解解:令代入方程得可求得其通解为:还原得原方程的通解为:为曲边的曲边梯形面积上述两直线与x轴围成的三角形面例8.二阶可导,且上任

6、一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,区间[0,x]上以解:于是在点P(x,y)处的切线倾角为,满足的方程.积记为再利用y(0)=1得利用得两边对x求导,得定解条件为方程化为利用定解条件得得故所求曲线方程为内容小结可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令令P3231(5),(7),(10);2(3),(6);3;4作业两点说明：1.方程的求解?令或一般说,用前者方便些.均可.有时用后者方便.例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意：(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.1.解:建坐标如图:xy●●B(-1,0)A(0,1)动点A的

7、坐标为(0,1+vt),此时动点B运动到P(x,y)P(x,y)据题意:(设法削去t)两边对x求导:设物体A从点（0，1）出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动．物体B从点（-1，0）与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A，试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件.即初始条件2.求方程解:令代入方程得的通解为:的通解为:的通解是何类型?原方程两边求导得:化简得(1)(2)代入原方程检验得,代入检验得,a=0,是原方程的通解.是原方程的