三角函数中的求值与化简.doc

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1、三角函数中的求值与化简三角函数中公式较多，这些公式应用非常广泛；对这些公式的考查常以求值与化简的形式出现；这类问题难度虽然不大，但高考卷面上失分情况仍然常见，究其原因，就是对公式记得不熟。熟记公式必须做到：一理解记忆，即根据公式的来龙去脉去记，对每个公式是怎样得到的，要做到心知肚明，如同角三角函数关系式与诱导公式可由三角函数的定义直接推出；两角和差的正、余弦公式、正切公式、倍角公式、半角公式、和差化积公式、积化和差公式、万能公式、辅助角公式可由两角和的余弦公式推出。二公式的结构特点、公式的变形，公式的限制条件也必须牢记。公式记熟了，化简与求值问题就会迎刃而解，下面举例说明。例1．（97全

2、国高考题）的值为　　　分析：由cos15°sin8°、sin15°sin8°的结构特点容易联想到两角差的正、余弦公式，将7°写成15°－8°解：略。例2．（96全国高考题）tam20°＋tan40°＋tan20°tan40°的值是分析：从式子的结构特点容易联想到两角和的正切公式有：tam20°＋tan40°＝tam（20°+40°）（1－tan20°tan40°）＝－tan20°tan40°所以原式的值为例3．（05全国高考卷Ⅲ）等于（　　）A．tanα　　B．tan2α　　C．1　　　D．分析：式子中分子有因式cos2α，分母有因式1＋cos2α，由此可联想到二倍角的余弦公式cos2α

3、＝2cos2α－1，即1＋cos2α＝2cos2α便可得出结果选B。例4．（95年全国高考题）求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值分析：降次是三角变换中常用的方法，于是：原式＝（1－cos40°）＋（1＋cos100°）＋（sin70°－sin30°）＝1＋（cos100°－cos40°）＋sin70°－＝－sin70°sin30°＋sin70°＝由此式的结构特点易联想到余弦定理：在△ABC中，由正、余弦定理易得：sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinAsinBsinC，于是：原式＝sin220°＋sin240°－2sin20°sin40°cos120°＝

4、sin2120°＝联想到sin2θ＋cos2θ＝1及两角和差的正弦公式，还可得到下面解法：设M＝sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°N＝cos220°＋sin250°＋cos20°sin50°则M＋N＝2＋sin70°M－N＝－cos40°＋cos100°＋sin（－30°）＝－2sin70°sin30°－∴2M＝　　即M＝例5．(04全国高考卷)已知α为第二象限角，用sinα=，求：的值。分析：由的正、余弦值均为，及cos2α＋1＝2cos2α可得：原式＝＝当α为第二象限角，且sinα＝时，sinα＋cosα≠0cosα＝－∴原式＝例6．若，求的值。分析：切割化弦也

5、是三角变换中的常用方法，为特殊角，且为的一半，于是有下列解法：解法一：又　∴∴cos2x＝－＝－∴原式＝解法二：原式＝＝sin2x·＝sin2x·tan（－x）∵cos（－x）＝－，∴sin（－x）＝tan（－x）＝∴原式＝解法三：∵cosx＝cos[－（－x）]＝coscos（－x）＋sinsin（－x）＝－∴sinx＝－∴原式＝例7．已知＝2　，求下列各式的值。（1）2sin2α－3sinαcosα　　　（2）sinα＋2cosα分析：由题设而得：sinα＝－3cosα，联想到sin2α＋cos2α＝1可求出sinα、cosα，这是基本解法。因tanα＝－3，所以此题还可用推导万能公

6、式的思路，即化为分式形式，使分子、分母为正、余弦的齐次式：（1）原式＝＝＝（2）原式＝∵tanα＝－3＜0　∴α为第二式第四象限角若α为第二象限角时，cosα＝－此时原式＝＝若α为第四象限角时，cosα＝此时原式＝＝对于第（2）小题不觉可得到更简洁的解法：令sinα＋2cosα＝t又sinα＝－3cosα∴cosα＝－tsinα＝3t∴9t2＋t2＝1　　解得t＝±　即sinα＋2cosα＝±