浅谈新课程理念下数形结合”思想在集合与函数中的应用.doc

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1、浅谈新课程理念下"数形结合”思想在集合与函数中的应用单位：天津市大港一中姓名：贾宝山学科：数学浅谈新课程理念下"数形结合”思想在集合与函数中的应用摘要:"数形结合"思想方法是解决数学问题的重要方法，本文对高中数学中的问题，谈谈如何运用"数形结合"的思想方法解题.关键词：数形结合.图形.集合.函数.数学是研究空间形式和数量关系的科学，“数”与“形”的结合是中学数学最完美的珠联璧合.“数”是“形”的抽象，“形”是“数”的直观表现.数形结合思想是充分应用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的描述代数的论证来解决数

2、学问题的一种重要思想方法.纵观历年高考试题，利用数形结合思想解题占一定比例，尤其是选择、填空，更突出其重要性，其应用主要是“以形助数”、“以数定形”.著名的数学家华罗庚先生说过："数形结合千般好，数形分离万事休."有些繁难的代数题，若我们借助于图形的性质，可以使许多抽象的概念及复杂的数量关系直观化.简单化，从而探索出巧妙的解法.下面就高中数学的几个重要应用“数形结合”方面进行研究.一．利用“数形结合”求解集合问题.初中阶段会用数轴上的点表示有理数，建立实数与数轴上的点的一一对应关系，借助数轴理解相反数及绝对值的意义.高中阶段会用数轴表示集合间的包含关系，会用数轴进行数

3、集的运算：例1．已知集合M＝﹛x

4、x2-3x-28≤0﹜，N＝﹛x

5、x2-x-6＞0﹜则M∩N为（  A ）A、﹛x

6、-4≤x＜-2或3＜x≤7﹜  B、﹛x

7、-4≤x＜-2或3≤x＜7﹜C、﹛x

8、x＜-2或x＞3﹜         D、﹛x

9、x＜-2或x≥3﹜ 解题策略：此题以一元二次不等式的解集为载体，考查了其解法及交集运算.结合数轴，以形助数.例2．设集合A＝﹛x

10、-2＜x＜-1或x＞1﹜，B＝﹛x

11、（x-a）（x-b）≤0﹜，（a＜b）若A∪B=﹛x

12、x＞-2﹜，Ａ∩Ｂ=﹛x

13、1＜x≤3﹜，求a,b的值. 分析：由于本题较复杂，应先化简集合.B＝﹛x

14、a≤x≤

15、b﹜，A∩B＝﹛x

16、1＜x≤3﹜欲求a,b的值，它是集合B的两个端点，此题不能直接看出答案，由数想形，以形助数，需画出一条数轴，标出A，A∪B及Ａ∩B.由A∪B＝｛x

17、x＞-2｝知Ｂ的两端点落在Ｅ的右侧，由A∩B＝｛x

18、1＜x≤3｝可知Ｂ的右端点Ｈ必落在３的位置，下面确定左端点的位置，若落在F的左侧，与Ａ∩Ｂ矛盾．若落在Ｇ，Ｈ中间与Ａ∩Ｂ也矛盾．若落在Ｆ，Ｇ之间，则与A∪B矛盾，当且仅当它落在Ｆ处满足题意，即a＝－1,b＝3解题策略：本题以不等式为载体，考查了交集、并集的运算，我们用数轴这一数形结合重要工具解决了它，由数想形，以形助数.“复杂数集先化简，画出数轴是关键

19、，抽象问题具体化，运动变化定端点.”二．利用“数形结合”求解函数问题.(一)．利用“数形结合”求函数的定义域面对求函数的定义域问题，有些人常常是顾此失彼，所以在看到题目后，首先的应该把所有使函数有意义的条件列出，待求出所有满足条件的解后用相应的图形表示出来，再逐一判断，这样才能尽量避免失误，得出正确的答案.例1：已知函数f(x)的定义域是[a,b]其中a<0

20、a

21、>b,求函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域.分析：若g(x)的定义域为M,f(x)f(-x)的定义域分别为A.B，则有M=A∩B，利用数轴分析得知，阴影部分即为所求.如图解：∵函数f(x)的定义

22、域为[a,b]∴a≤x≤b若使f(x)e有意义，必须有a≤－x≤b，即有－b≤x≤－a∵a＜0＜b∴－b＜0＜－a又∵

23、a

24、＞b＞0∴.a＜－b∴函数g(x)的定义域{x

25、a≤x≤b}∩{x

26、－b≤x≤－a}={x

27、－b≤x≤b}解题策略：这样的题目要是改为选择题，图形一画那就简单明了，不用解题，若像上面的求解，则图形有助于解题.(二).利用“数形结合”求函数的值域对于一些给了的定义域求值域的函数，若只采用代数的方法思考问题，往往会太过于抽象或无从下手.但如果根据函数的定义，引入图象，使所求的问题具体化，可从图中一目了然，则达到事半功倍的效果.例2．求函数y=

28、x-2

29、

30、－

31、x+4

32、的值域.分析：就自变量x的范围讨论去掉绝对值，将函数表示为分段函数，画出分段函数的图象，由图象即可得y的范围函数的图象如图，由图象即可得y∈［-6，6］.解题策略：数形结合能将抽象的问题直观化.形象化，能使问题灵活直观地获解，在数学学习中要注意把握善于运用这种数学思想.(三).利用数形结合求函数的单调区间例3.设函数f(x)=-（x-1）2+2

33、x-1

34、+1(－5≤x≤3).指出函数f(x)的单调区间并说明在各个区间上f(x)是增函数还是减函数.解：当x≥1时，f(x)=-（x-1）2+2（x-1）+1=-（x-2）2+2当x＜1时，f