浅谈数形结合思想在数学中的应用

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1、浅谈数形结合思想在数学中的应用摘要：.本文通过"以形助数”和'‘以数助形”这两大题型的具体分析，并就如何体现数形结合思想，数形结合在中学数学以及数学分析中的应用，介绍一些常用的方法与技巧，揭示出"数”与“形”之间的紧密关系，从而使解决数学问题的渠道变得优化.关键词：数形结合不等式导数函数积分引言：数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过数与形Z间的对应和转化来解决数学问题，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方血。数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入.一方

2、面，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化,给人以直觉的启示.一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论•数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽彖研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物.华罗庚先生说过：“数与形是两依椅，焉能分作两边飞，数缺形吋少直观，形少数时难入微”.“数”与“形”是数学的基本研究对象，他们之间存在着对立辩证统一的关系.数形结合是一种重要的数学思想，是人们认识，理解，掌握数学的意识，它是我们解题的重要手段，是根据数理与图形Z间的关系，认识研

3、究对象的数学特征，寻求解决问题的方法的一种数学思想.它是在一定的数学知识，数学方法的基础上形成的•它对理解、掌握、运用数学知识和数学方法，解决数学问题能起到促进和深化的作用.一利用数形结合思想解决不等式问题例1、已知a.b.c,x,y.z.m为正数，且d+x二b+y=c+z二加,试证：ay-^bz-st-cx

4、exJ,使得：EH=x,FI=y,GJ=z,HF-a,IG=b,EJ=c由S胡彤

5、(方-dy(a与c,b与d不同吋相等).分析：考察不等号两边特点，其形式类同平面上两点间距离公式.在平面直角坐标系中设A(a,h),B(c,d),0(0,0).如图3,AB=y/(a-c)2+(b-d)2A0=yja2+b2,BO=[c2Tdi,当A、3、O三个点不共线时，AB

6、2+d2>J(a-c$+(b-.例3解不等式V3+2x-x2>a-x解:这里出现了参数Q,讨论起来会很困难，而用图像法则十分简洁.再令y=这是斜率为-1的平行直线束，它在y轴上的截距为Q,不难从图中看出:1)当a<-l时，解为%e[-l,3]；2)当一1VQW3时，解为XG[67,3]；3)当3vdv2“+l吋，解为xw[/0],其中为方程(x-1)2+(6/-x)2=4的两根:(X—_(1+a—J—a"+2a+7)0=_(l+a+J-a"+2ci+72'尸2、4)当a=2^2+1时，解为jt=1+72；5）当Q>2

7、血+1吋，解集为0.此题采用数形结合，避免了复杂的讨论，体现了以数求形的优越性.二利用数形结合思想解决函数问题例4、对于每个实数兀，设/（兀）是4x+l,x+2,-2/+4三个函数的最小值,则/（x）的最大值为.解：在同一个坐标系内做出三个函数的图像，如图5依题意，/（兀）的图像是三个函数图像的最下面的部分构成的折线，由图5知，于（兀）的

8、y—工+2QO最大值是必与儿图像交点的纵坐标，解=>y=-，/（兀）的最大值为仝y=-2x+433例5.若2x+y>l,试求函数^=/-2y+x2+4%的最小值。分析若采用纯代数

9、的方法求解，过程相当繁杂，不妨试用儿何方法.解设p（x,y）是直角坐标平而oxy上的一点，则2x+y>l表示直线2无+y—1=0的上方（含直线本身）区域.如图6所示方程co=y2-2y+x2变形为：（x+2）2+（y—1尸=血+5可见它表示以o'（-2,1）为圆心，为半径的圆.由于0不确定，它表示的是动圆，而其上点（x,刃应是直线2x+y-l=