浅谈数形结合思想在数学教学中的应用

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1、浅谈数形结合思想在数学教学中的应用摘要：初中数学的学习不再局限于简单的运算和数学概念的认识，开始接触逻辑性和抽象性较强的数学应用题，数学学习走向新的高度。因此，教师在初中数学教学中应当注意向学生渗透数学思想。而数形结合解题思想是初中数学解题中最常见、最有效的解题方法之一，它贯穿数学教学的始终，既符合新课程标准，又是进行数学素质教育的一个切入点。本文通过对教学实例的简要叙述，分析了初中数学教学中“数形结合”思想的应用。中国9/vie　　关键词：数形结合思想；数学教学；以形助教；应用　　【中图分类号】G633.6　　恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形

2、结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。数形结合是在一定的数学知识、数学方法的基础上形成的，它对理解、掌握、运用数学知识和数学方法，解决数学问题能起到促进和深化的作用。　　一、数形结合思想的意义及重要性　　我国著名数学家华罗庚对“数”与“形”之间的密切联系有过一段精彩的描述：“数与形本是相依，焉能分作两边飞，数缺形少直觉，形少数难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫

3、分离。”寥寥数语，把“数形结合”之妙说得淋漓尽致。“数形结合”是将知识转化为能力的“桥”。而课堂中数形结合思想的运用，有利于突破教学难点，有利于动态地显示给定的几何关系，为学生创设愉快的课堂教学气氛，激发学生的学习兴趣，使学生喜欢数学，爱学数学。　　二、数形结合思想的原则　　1.等价性原则　　等价性原则是指代数性质与几何性质的转换应该是等价的，否则解题会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时的图形性质只是一种直观而显浅的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。　　2.双向性原则　　双向性原则就是既进行几何直观的分析，又进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，

4、遇到问题进行几何分析或者仅对几何问题进行代数分析都是一种天真的误解。　　3.简单性原则　　简单性原则是让复杂问题简单化。找到解题思路后，至于用几何方法还是代数方法，后者兼用两种方法来叙述，取决于哪种方法更加优美，更加简单，或者便于达到教学目的，而不是一种理性的模式那样，代数问题用几何方法，几何问题用代数方法。　　4.直观性原则　　以形助数时，能够通过直观分析，将抽象的数学问题简单化、具体化、直观化，问题理解起来更加明了、深刻。　　三、数形结合思想在初中数学教学中的应用　　1.利用数形结合思想解不等式　　不等式问题的求解方法灵活多样，除了应用不等式本身的性质进行等价转化、分类讨论以

5、外，还可以运用数形结合的思想赋予不等式相应的几何特征，借助于图形的性质，可以使抽象的数量关系变得直观而形象。例如，解关于x的不等式-b0。　　解：画出函数的图像，容易知道，即得不等式的解集��>，或x<-　　图1　　2.利用数形结合思想求最值　　最值问题涉及的知识面广、综合性大、应用性强，能很好地考察学生的创新能力和潜在的数学素质，用数形结合的思想方法解决最值问题，能使数与形有机地结合在一起，使问题迎刃而解。例如，求代数式

6、x+1

7、+

8、x-2

9、+

10、x-3

11、的最小值。　　分析：

12、x+1

13、表示点x和点-1之间的距离，

14、x-2

15、表示点x和点2之间的距离，

16、x-3

17、表示点x和点3之间的距

18、离，如图2。　　图2　　显然，当三条线段没有重合部分，其距离之和最小，此时x=2，即原式的最小值为点-1和3之间的距离，所以

19、x+1

20、+

21、x-2

22、+

23、x-3

24、的最小值=4。　　3.利用数形结合思想求值域　　函数值域问题是函数问题中的一大重、难点，然而若注重函数问题的几何特征，把函数求值的代数问题通过数形结合思想的运用转化为两点距离问题、斜率问题等，则可使问题迎刃而解。例如，已知（x-2）2+（y-2）2=1，求z=2x+y的最值。　　图3　　分析：（x，y）在定圆上，求z=2x+y的最值可转化为：求直线y=-2x+z的纵截距最值问题.如图3，平移直线y=-2x，利用解析方法便可得

25、到解决。　　归纳：已知（x，y）满足的平面区域，求z=ax+by的最值问题，均可用类似转化方法。其实，这就是线性规划最优解问题的解决方法之一。　　五、结束语　　作为初中数学解题中的重要思想方法之一，数形结合思想对于沟通知识之间的联系、激活学生的思维、提高学生的数学能力、调动学生的积极性和主观能动性将起到重要作用。在今后的数学教学中，数学教师要有意识地去培养和提高学生这方面的能力，使学生掌握统一数与形的方法，提高学生的数学能力。