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1、对平面法向量的专题探究山东枣庄八中277000在现行人教版<<数学第二册(下B)>>P41给出了平面法向量的定义:如果,那么向量叫做平面的法向量.但再也没有涉及其他任何知识点,笔者经过教学实践,发现平面法向量在处理线面角.二面角以及距离等问题有着十分重要的用途,可以化繁为简,使立体几何中多年让师生感到头痛的问题迎刃而解.现举例说明:一.利用平面法向量求线面角如图1,AB为平面的斜线,为平面的法向量.如果与之间所成的角为锐角.则斜线AB与平面之间所成的角为,故欲求斜线AB与平面所成的角,只需求出向量与平面的法向
2、量之间的夹角即可.例题1.如图2,在长方体中,,求直线和平面所成角的正弦值.解:以D为原点,以方向分别作为x轴,y轴,z轴的正方向,则设平面的法向量,则,即故是其中一组解,即为其中一个法向量,所以,故所求角的正弦值为.二.利用平面法向量求二面角如图3,平面的法向量所成的角即为二面角的平面角,(注:当半平面绕着其棱转动到与另一半平面重合时,这两个向量的方向应当一致)例题2.如图4,在正方体中,分别是的中点,求平面和底面所成角的余弦值.解析:建立空间直角坐标系,如图所示,由例题1的方法,容易求得平面的法向量,底面
3、的法向量,所以,即为所求角的余弦值.一.利用平面法向量求点到平面的距离.如图5,求点P到平面的距离,可以在平面上任意取一点,则,(为平面的法向量,方向如图).例题3.如图6,已知是边长为4的正方形,分别是的中点,是垂直于所在的平面,且,求点到平面的距离.解:建立如图所示的空间直角坐标系,则,同例题1,容易求得平面的法向量,注:求线面距,面面距,可先转化为点面距,再用此法求解.一.利用平面法向量求异面直线的距离.先设法求出同时与异面直线垂直的法向量,然后在两异面直线上分别任取点,则.例题4.已知正方体的棱长为1
4、,求直线的距离.解析:建立坐标系,如图7所示,则点,设为与同时垂直的向量,即,故为其中一个法向量,.所以直线的距离为.
