函数不定式极限的洛必达法则.doc

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1、函数不定式极限的洛必达法则需要熟记的几个重要极限：需要知道的极限四则运算法则：设则（1）（2）（3）（4）注：上式不仅对这种类型的极限成立，它对于，，，，这些类型的极限也都成立。另外，它对数列极限也实用。需要知道的定理:1.若函数在点连续，2.若函数在点连续，在点连续，则复合函数在点连续。用极限来表述就是如下：注：若复合函数的内函数当时极限为，而或在点处无定义（即为的可去间断点），又有外函数在点连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有9上式不仅对这种类型的极限成立，它对于，，，，这些类型的极限也都成立。比方说：3.若函数函数当时的极限存在

2、，假设为，即，那么把换成正整数所得到的数列的极限也为，即.注：这个定理为我们求数列的极限提供了一条很好的途径，它告诉我们在求数列的极限时，可以先求出该数列所对应的函数当时的极限。比方说：，那么目的：能用洛必达法则求“”、“”型不定式极限。当（或）时，函数和都趋于零或都趋于无穷大，此时极限存在（或无穷大）称为不定式极限对于不定式的极限，不能直接用极限运算法则求得时，可用求导的方法解决。下面介绍的洛必达法则，是求此类极限的有效方法。一、洛必达法则1．“”型不定式当，时极限称为“”型不定式定理1.若(1)，；(2)与在点的附近（点可除外）可导，且；9(3

3、)存在(或无穷大)则=注：上述定理不仅对这种类型的极限成立，它对于，，，，这些类型的极限也都成立。例1.求解：由洛必达法则知原式=例2.求解：原式=例3.求解：原式=例4.求解：原式===．例5.求解：原式=9例1.求解:原式==1　　2．“”型不定式当，时极限称为“”型不定式定理2．若(1)，；(2)与在点的附近可导，且；(3)存在（若无穷大），则＝注：上述定理不仅对这种类型的极限成立，它对于，，，，这些类型的极限也都成立。例7．求解：原式＝　　　　＝　　　　＝　　　　＝１例8．求解：原式＝＝０例9．求（为正整数）9解：原式＝　　　　＝＝…＝　　

4、　　＝＝03．其它型不定式除了型和型以外，还有其它类型的不定式，它们可先化为、型然后再用洛必达法则求之。例10．求分析：这是一个型的不定式极限，利用恒等变形，就可将它转化为型的不定式极限，然后根据洛比达法则求之即可。解：原式＝例11．求解：这是未定型，作恒等变形，通过“通分”将转化为未定型．原式====例12.求解：这是型不定式极限，作恒等变形，其指数部分的极限是不定式极限，可先求得，从而，再根据的连续性知，9例13.求解：这是型不定式极限，恒等变形，其指数部分的极限是型不定式极限，可先求得，，然后，再根据的连续性知，.例13.求解：这是型不定式极

5、限，恒等变形，其指数部分的极限是型不定式极限，可先求得，这里然后，再根据的连续性知，二、练习：1.求2.求93.求4.求.5.求6.求.7.求(n为正整数,)8.求9.求10.求.1.求2.求3.求4.求三、小结；(1)使用法则前，必须检验是否属于或未定型，若不是未定型，就不能使用该法则；(2)如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤；(3)当不存在(不包括的情况)时，并不能断定也不存在，此时应使用其他方法求极限．练习解答型例1（E01）求解原式例2（E02）求解原式例3（E03）求解例4（E04）求.9解注:若求

6、为自然数）则可利用上面求出的函数极限,得.型例5（E05）求解例6（E06）求.解原式例7（E07）求(n为正整数,)解反复应用洛必达法则次，得原式注：对数函数、幂函数、指数函数均为当时的无穷大，但它们增大的速度很不一样，其增大速度比较:对数函数<<幂函数<<指数函数.注:对数函数、幂函数、指数函数均为当时的无穷大,但它们增大的速度很不一样,幂函数增大的速度远比对数函数快，而指数函数增大的速度又远比幂函数快.洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法,但若能与其它求极限的方法结合使用,效果则更好.例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要

7、极限时，应尽可能应用，以使运算尽可能简捷.例8求解注意到则有9注:洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法,但若能与其它求极限的方法结合使用,效果则更好.例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时，应尽可能应用，以使运算尽可能简捷.例9（E08）求解当时,故例10（E09）求.解所求极限属于的未定式.但分子分母分别求导数后，将化为此式振荡无极限,故洛必达法则失效，不能使用.但原极限是存在的,可用下法求得:9