高二数学三角函数的图像与性质.doc

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1、题目第四章三角函数三角函数的图像与性质高考要求了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义知识点归纳1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2.三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，的递减区间是。3.函数最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。4.由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开

2、这两个途径，才能灵活进行图象变换利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0)平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ω

3、x＋)的图象5.由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置.6.对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。7.求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负。利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8.求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式

4、，另外还有图像法和定义法。9.五点法作y=Asin（ωx+）的简图：五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图.题型讲解例1把函数y=cos（x+）的图象向左平移个单位，所得的函数为偶函数，则的最小值是A.B.C.D.解：先写出向左平移4个单位后的解析式，再利用偶函数的性质求解.向左平移个单位后的解析式为y=cos（x++），则cos（－x++）=cos（x++），cosxcos（+）+sinxsin（+）=cosxcos（+）－sinxsin（+）.∴sinxsin（+）=0，x∈R.∴+=kπ.∴

5、=kπ－＞0.∴k＞.∴k=2.∴=.答案：B例2试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象.解：y=sin（2x+）另法答案：（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的图象；（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象.例3求函数y=sin4x+2sinxcosx－cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在［0，π］上的单调递增区间.解：y=sin4

6、x+2sinxcosx－cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2x－cos2x）+sin2x=sin2x－cos2x=2sin（2x－）.故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；单调递增区间是［0，］，［，π］.点评：把三角函数式化简为y=Asin（ωx+）+k（ω＞0）是解决周期、最值、单调区间问题的常用方法.例4已知电流I与时间t的关系式为．（１）右图是（ω＞0，）在一个周期内的图象，根据图中数据求的解析式；（２）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解:本小题主要考查三角函数的图象与

7、性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．（１）由图可知A＝300．设t1＝－，t2＝，则周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝．∴ω＝＝150π．又当t＝时，I＝0，即sin（150π·＋）＝0，而，∴＝．故所求的解析式为．（２）依题意，周期T≤，即≤，（ω>0）∴ω≥300π＞942，又ω∈N*，故最小正整数ω＝943．点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径．例5（1）y=cosx+cos（x+）的最大值是_______；（2）y=2sin（3x－）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_

8、______.解：（1）y=cosx+cosx－sinx=cosx－sinx=（cosx－sinx）=sin（－x）.所以ymax=.（2）T=，相邻对称轴间的距离