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1、高三第一轮复习数学---空间向量的坐标运算一、教学目标：：向量的坐标运算和建系意识．二、教学重点：向量的坐标运算三、教学过程：（一）主要知识：1．空间直角坐标在空间选定一点O和一个单位正交基底{ī，j，k}，以点O为原点，分别以ī，j，k的正方向建立三条坐标轴：x轴，y轴，z轴，使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°，就建立了一个空间直角坐标系O-xyz。点O叫原点，ī，j，k叫坐标向量，一般作右手直角坐标系。任一点A对应一个向量，存在唯一的实数组x、y、z.xī+yj+zk.记为A（x、y、z）,叫空间直角坐标系中的坐标。其中x叫点A的横坐
2、标，y叫点A的纵坐标，z叫点A的竖坐标2．向量的直角坐标运算（1）设a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）则a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)a-b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)λa=（λa1，λa2，λa3）（λ∈R）a·b=a1b1+a2b2+a3b3a∥b↔a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3（λ∈R）a⊥b↔a1b1+a2b2+a3b3=0（2）设A（a1，a2，a3），B（b1，b2，b3）则（b1，b2，b3）-（a1，a2，a3）=(b1-a1，b2-a2，b3-a3)。即一个向量在直角坐标系中的坐标等
3、于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。3．夹角和距离公式设a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）则a·b=a1b1+a2b2+a3b3已知，则为空间两点间距离公式4．如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记为如果，那么向量a叫做平面α的法向量5.设A（a1，a2，a3），B（b1，b2，b3）则AB中点坐标为6.向量位置与立体几何中位置对照:⑴AB//CD⑵⑶证A、B、C、D四点共面可通过证⑷⑸线线角即为两向量的夹角或其补角⑹线面角即为线所在向量与面的法向量的夹角的余角或再减900⑺面面角即为
4、两面的法向量的夹角或其补角⑻距离可通过求在法向量上投影的长度得到（二）例题分析：例1（1）已知直角坐标系内三点A（2，4，1），B（3，7，5），C（4，10，9），判断A、B、C三点是否共线？（2）已知直角坐标系内四点A（2，3，1），B（4，1，-2），C（6，3，7），D（-5，4，8），判断A、B、C、D四点是否共线？解：（1）可见共线，即A,B,C三点共线。（2）则由（1）（2）解得x=代入（3）式不成立，故方程组无解，即不存在x,y使成立，故A、B、C、D四点为共面。例2已知=（cosα,1,sinα）,=(sinα,1,cosα),则向量+
5、与-的夹角是（）A．900B．600C．300D．00解1：︱︱=︱︱，故（+）（-）=2-2=︱2-2=0，故（+）⊥（-）选A解2：+=（sinα+cosα,2,sinα+cosα）-=(cosα-sinα,0,sinα-cosα)故〈+，-〉=900选A例3正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为。求AC1与侧面ABB1A1所成角。解1：以A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，以AA1所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系，由已知条件，得A（0，0，0），B（0,a,0）,A1(0,0,
6、,取A1B1的中点M，得M（，所以=，=（0,a,0）,=(，因为。=0，。=0，所以MC1⊥面ABB1A1，所以AC1与AM所成角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角。因为=，=，。=0+，，，所以，所以，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为300解2：设面侧面ABB1A1的法向量为，则=（1，0，0），又=，与的夹角余弦值为，故与的夹角为1200，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为300例4在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，设AB=a,BC=b,PA=c.(1)求证：MN⊥AB。（2）平面P
7、DC和平面ABCD所成的二面角为θ，当θ为何值时（与a,b,c无关），MN是直线AB与PC的公垂线段。解：（1）建立如图空间直角坐标系，由已知条件得A（0，0，0），B（a,0,0）,M(a/2,0,0),N(a/2,a/2,a/2).所以，=（a,0,0），=（0,b/2,c/2）,。=0，因此AB⊥MN。（2）因为PA⊥面ABCD，CD⊥AD，所以PD⊥CD，∠PDA是平面PDC与平面ABCD所成角，即∠PDA=θ。由（1）知，P（0，0，c）,C(a,b,0),=(a,b,-c).由于MN⊥AB，因此MN是AB、PC公垂线MN⊥PC。=0+，所以当
8、且仅当θ=450时，MN是直线AB与PC的公垂线段。例5在直三棱柱ABC-A1B
