高三数学空间向量的坐标运算

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1、第九节　空间向量的坐标运算(B)考纲点击1.理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算．2.掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．3.理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念．热点提示1.立体几何解答题一般既可用向量(坐标)法，也可用传统(综合)法解决，主要考查平行、垂直、夹角、距离等问题．2.用向量的坐标运算、数量积的公式结合直线的方向向量、平面的法向量解题是高考的新动向.垂直于法向量所列方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？【提示】给其中某一变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标【

2、解析】∵a·b＝－12＋36－24＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.【答案】B【答案】C3．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于()A．120°B．60°C．30°D．以上均错【答案】C5．如图，已知三棱锥A－BCD中，A(－1,0,0)，B(0,1,0)，C(－4,0,0)，D(0,0,2)，则该三棱锥的高为________．空间向量的坐标运算在计算和证明立体几何问题时，若能在原图中建立适当的空间直角坐标系，把图形中的点的坐标求出来，那么图形中有关问题可用向量表示．利用空间向量的坐标运算来求解，这样可以避开较为复杂的空间想象

3、．利用空间向量证明平行和垂直已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点(如图所示)．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求证：B1F⊥平面AEF.用向量(坐标)法证明平行与垂直(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．(2)证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．(3)证明面面平行的方法：①转化为线线平

4、行、线面平行处理；②证明这两个平面的法向量是共线向量．(4)证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．(5)证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．(6)证明面面垂直的方法：①转化为线线垂直、线面垂直处理；②证明两个平面的法向量互相垂直．(2008年北京高考)如图，在三棱锥P－ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC.(1)求证：PC⊥AB；(2)求二面角B－AP－C的余弦值；(3)求点C到平面APB的距离．利用坐标法求角和距离【思路点拨】题中(1)利用

5、△PAC≌△PBC证明；题中(2)(3)可利用题中(1)的结论：PC，AC，BC两两垂直，建立空间直角坐标系求解．【解析】(1)证明：∵AC＝BC，AP＝BP，PC＝PC，∴△APC≌△BPC，又PC⊥AC，∴PC⊥BC.∵AC∩BC＝C，∴PC⊥平面ABC.∵AB⊂平面ABC，∴PC⊥AB.(12分)如图所示，△ABC是一个直角三角形，∠B＝90°，AB＝2BC＝4，E，F分别是边AB，AC的中点，现将△AEF沿EF折起，使得二面角A—EF—B的大小为60°.【思路点拨】解答本题若用向量法，则要依据折叠前的垂直条件及折叠后二面角的大小，确定面面垂直，再由面面垂直的性

6、质确定垂线，从而建立空间直角坐标系．若用传统方法，首先应通过作辅助线，将二面角的平面角及点面距作出来并证明它是所求的二面角的平面角及点面距，然后归结在某一个三角形中把它求出．利用向量的坐标运算解几何中证明、求值问题时，首先要恰当建系，一般借助于两两垂直的三条线段建立空间直角坐标系，若图形中不存在，则要通过辅助线构造垂线．其次对公式要熟悉，特别是平面法向量的求解要熟练准确，最后在下结论时，要注意概念间的区别与联系，如向量夹角与直线夹角，向量夹角与二面角．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小；(3)是否存在点E使得二面角

7、A—DE—P为直二面角？并说明理由．1．解决立体几何问题常用的三种方法：(1)几何法：运用有关的判定定理和性质定理解题；(2)向量法：选取一组基向量解决问题；(3)坐标法：建立空间直角坐标系解决问题．2．空间向量的坐标运算，类似于平面向量的坐标运算，关键是熟记有关的公式．3．利用空间向量的坐标运算可以证明平行和垂直问题，也可以求角和距离．从而降低了空间逻辑的难度，使问题获解的历程具有程序化特征．(1)证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量共线；(2)证明线面平行的向量方法：①证明直线的方向向量和平面的法向量垂直．②证明能够在平面内找到一个向量与