空间向量运算的坐标表

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1、空间向量运算的坐标表示学习导航学习目标重点难点重点：空间向量的运算的坐标表示．难点：利用坐标运算求空间向量的长度和夹角．xyzO右手系空间坐标系包括原点O,x轴,y轴,z轴.记作：空间直角坐标系O-xyz.空间直角坐标系共有八个卦限新知初探思维启动1.向量加减法和数乘的坐标表示(1)加减法和数乘的坐标表示若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则①a＋b＝_______________________，a－b＝___________________________；②λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R

2、)．(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)(x1－x2，y1－y2，z1－z2)用文字叙述为：①空间两个向量和(差)的坐标等于它们__________________________；②实数与空间向量数乘的坐标等于_____________________________的乘积．对应坐标的和(差)实数与向量对应坐标做一做3.设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若a∥b，则y＝________，z＝________．答案：24差2.数量积及空间向量长度与夹角的坐标表示(1)数量积的坐标表示设空间两个非零向量为

3、a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝___________________．空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之_____．x1x2＋y1y2＋z1z2和做一做4.已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b()A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向解析：选A.a·b＝(1，－5，6)·(0，6，5)＝－5×6＋5×6＝0.∴a⊥b.5.设a＝(1，0，1)，b＝(1，－2，2)，则〈a，b〉＝________．典题例证技法归纳题型探究例1题型一空间向量的坐标运

4、算已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)．【解】(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2，－2，2)．(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2，0，－6)．(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝－7.(4)2a·(－b)＝2(2，－1，－2)·[－(0，－1，4)]＝(4，－2，－4)·(0，1，－4)＝14.(5)(a＋b)·(a－b)＝(2，－2，2)·(2，0，－6

5、)＝－8.【点评】牢记运算法则是正确计算的关键．例2题型二向量平行、垂直的坐标表示【点评】(1)解决空间向量的平行问题，可以根据题设条件，灵活运用空间向量平行的条件a＝λb(注意b是否为0)来求解．(2)依据向量垂直求参数，利用两向量对应坐标乘积的和为0转化为坐标运算较易获解．变式训练2.已知向量a＝(4－2m，m－1，m－1)与b＝(4，2－2m，2－2m)平行，则m＝________．答案：1或3题型三向量的模长、夹角的坐标求法例3提醒：建系时，充分利用几何体系中的垂直关系．【点评】将空间向量的运算与向量的坐标表示结

6、合起来，不仅可以用夹角公式和模长公式解决夹角和距离的计算问题，还可以使一些问题的解决变得简单．备选例题1.已知A(4，10，9)，B(3，7，5)，C(2，4，1),D(10，14，17)，M(1，0，1)，N(4，4，6)，Q(2，2，3)．(1)求证：A，B，C三点共线；(2)求证：M，N，Q，D四点共面．2.已知a，b满足2a＋b＝(－1，－4，3)，a－2b＝(2，4，－5)，求a，b的坐标．方法感悟方法技巧1.空间向量运算的坐标表示，实际上就是转化为实数的运算．向量的加减即将对应坐标进行加减，数乘向量即将数与向

7、量对应坐标相乘，数量积即将对应坐标乘积后求和，牢记运算法则是正确计算的关键．如例1.2.证明线线垂直(或平行)：在空间的两直线l1，l2上，分别取对应向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．要证l1⊥l2，只需证a⊥b，即证a·b＝0，也就是证明a1a2＋b1b2＋c1c2＝0；要证l1∥l2，只需证a∥b，且无公共点，即证a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．如列2.失误防范知能演练轻松闯关本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放