高二数学空间向量的坐标运算

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1、题目第九章(B)直线、平面、简单几何体空间向量的坐标运算高考要求要使学生理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距离、夹角公式通过解题，会应用空间向量的坐标运算解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题知识点归纳1空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，

2、点叫原点，向量都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若，，则，，，，，．（2）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4模长公式：若，，则，．5．夹角公式：．6．两点间的距离公式：若，，则，或题型讲解例1已知=（2，2，

3、1），=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量解：设面ABC的法向量，则⊥且⊥，即·=0，且·=0，即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0，解得∴=z（，－1，1），单位法向量=±（，－，）点评：一般情况下求法向量用待定系数法由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把的某个坐标设为1，再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解例2已知A（3，2，1）、B（1，0，4），求：（1）线段AB的中点坐标和长度；（2）到A、B两点距

4、离相等的点P（x，y，z）的坐标满足的条件解：（1）设P（x，y，z）是AB的中点，则=（+）=［（3，2，1）+（1，0，4）］=（2，1，），∴点P的坐标是（2，1，），dAB==（2）设点P（x，y，z）到A、B的距离相等，则=化简得4x+4y－6z+3=0（线段AB的中垂面方程，其法向量的坐标就是方程中x,y,z的系数），即为P的坐标应满足的条件点评：空间两点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）的中点为（，，），且

5、P1P2

6、=例3棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱D

7、D1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？解：以D为原点建立如图所示的坐标系，设存在点P（0，0，z），=（－a，0，z），=（－a，a，0），=（a，a，a），∵B1D⊥面PAC，∴·=0，·=0∴－a2+az=0∴z=a，即点P与D1重合∴点P与D1重合时，DB1⊥面PAC例4在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=（1）求证：SC⊥BC；（2）求SC与AB所成角的余弦值解法一：如图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，

8、SB=，得B（0，，0）、S（0，0，2）、C（2，，0），∴=（2，，－2），=（－2，，0）（1）∵·=0，∴SC⊥BC（2）设SC与AB所成的角为α，∵=（0，，0），·=4，

9、

10、

11、

12、=4，∴cosα=，即为所求解法二：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜线SC在平面ABC内的射影，∴SC⊥BC（2）如图，过点C作CD∥AB，过点A作AD∥BC交CD于点D，连结SD、SC，则∠SCD为异面直线SC与AB所成的角∵四边形ABCD是平行四边形，CD=，SA=2，SD===5，∴在△SDC中，由余

13、弦定理得cos∠SCD=，即为所求点评：本题（1）采用的是“定量”与“定性”两种证法题（2）的解法一应用向量的数量积直接计算，避免了作辅助线、平移转化的麻烦，但需建立恰当的坐标系；解法二虽然避免了建系，但要选点、平移、作辅助线、解三角形例5如图，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点（1）求的长；（2）求cos〈，〉的值；（3）求证：A1B⊥C1M（1）解：如图建立坐标系，依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），∴

14、｜｜==（2）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），∴=（1，－1，2），=（0，1，2），∴·=3，｜｜=，｜｜=∴cos〈，〉==（3）证明：∵C1（0，0，2），M（，，2），∴=（－1，1，－2），=（，，0），∴·=0，∴A1B⊥C1M例6如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明