傅里叶光学基础01.pdf

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1、专题：傅里叶光学基础FundamentalsofFourierOptics§1.1数学基础知识和傅里叶变换的基本概念§1.2光波的傅里叶分析§1.3平面波角谱理论§1.4透镜的傅里叶变换§1.5光阿贝成像原理§1.6光全息术傅里叶光学：研究以光作为载波，实现信息传递、变换、记录和再现的问题。§1.1数学基础知识和傅里叶变换的基本概念一、一些常用函数在现代光学中，常用各种非初等函数和特殊函数来描述光场的分布。常用函数定义图形表示应用1x0step(x)step()10直边（或刀口）xx阶跃函数21的透过率0x00x10x孔径的一半嵌有符号函数sgn()x

2、x00相位板的复振幅10x透过率xx11/2狭缝或矩孔的透rect()a矩形函数a0else过率常用函数定义图形表示应用

3、

4、x光瞳为矩形的非三角形函x11x()a相干成像系统的数a0else光学传递函数狭缝或矩孔的sinc函数xxasin(/)夫琅禾费衍射sinc()axa/图样激光器发出的2高斯函数xxGaus()exp高斯光束aa22xycirc()r0圆域函数圆孔的透过率1x22yr00else二、傅里叶级数的定义一个周期性函数g(x)，周期为T（频率f=1/T），在

5、满足狄里赫利条件（函数在一个周期内只有有限个极值点和第一类不连续点），可以展开为三角傅里叶级数:a0gx()acos(2nfxbnfx)sin(2)nn傅里叶系数2n1在[-T/2,T/2]区间逐项积分：TT2T2T22aa00gxdx()cos(2dxa)nfxdxbsin(2)nfxdxnnT(1)TT2T2T2222n12T2因此有：agxdx()0TT2将公式(1)两端同乘以cos(2πmfx)，并利用三角函数的正交性：0,formn0,formnsin(mxnxdx)sin()

6、cos(mx)cos(nxdx),formn,formnsin(mx)cos(nxdx)0,foranymandn逐项积分：TT22a0gx()cos(2mfxdx)mfxdxcos(2)TT222=0TT22=0anfxmfxdxbcos(2)cos(2nfxmfxdx)sin(2)cos(2)nnTT22n1()mnT2a2nanfxdxcos(2T)nT222T2agxnfxdx()cos(2)nTT22T/2系数：a0gxdx()直流分量TT/22

7、T/2angxnfxdx()cos2余弦分量的幅度TT/22T/2bngx()sin2nfxdx正弦分量的幅度TT/2用傅里叶级数展开表示矩形周期函数agx()acos2nfx0sin2bnfxnn2n1周期信号可分解为直流，基波()f和0各次谐波()fnf0的线性组合。随着三角波数量逐渐的增长，6最终会叠加成一个标准的矩形复指数形式的傅里叶级数满足狄里赫利条件的周期函数g(x)也可以表示为无限多不同频率的复指数函数的线性组合，即指数傅里叶级数形式gx()cnexp(2jnfx)n为了确定系数，用(exp

8、(j2πmfx)*)乘两端并积分，得：TT22jmfx22(jnmfx)gxe()dxcedxnTT22n右端仅n=m时积分不为零，因此有：T2j2nfxgxe()dxcTnT21T2j2nfxcgxedx()nTT2傅里叶系数cn是频率fnnT/nf的函数，称为频谱函数。利用欧拉公式，可以确定指数傅里叶级数系数c与三角傅里叶n级数系数a,b之间的关系：nna0gx()acos(2nfxbnfx)sin(2)nn2n1j222nfx2jnfxjnfxjnfxaeeee0

9、abnn222n1ja0ajbajbnnnnj22nfxjnfxannebe222n1若令则有a0c0j22nfxjnfx2gx()c0cecennn11cajbnnnj2nfx2cen1n指数傅里叶级数系数和三角cnanjbn2傅里叶级数系数是同一种级数的两种表示方法三、频谱的概念一个周期变化的物理量既可以在空间（或时间）域x中用?(?ሻ描述，也可以在空间（