衍射和傅里叶光学的数理基础.ppt

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1、傅里叶光学，就是采用傅里叶分析（频谱分析）的方法来分析光学问题。所讨论的问题仍然是有关光波的传播、分解与叠加（干涉、衍射）、光学系统的成像规律。傅里叶分析方法的引入，使人们对各种光学现象的本质和内在规律有了更深入地了解和认识。傅里叶光学已成为光学中的一个分支。第二章衍射和傅立叶光学的数理基础时间分解原子发光是断续，它总是发出具有一定持续时间的波列，这样的光波不是单色光波，波动方程会变的很复杂，它的特性也不能很容易得到。用这样的光波叠加、分解时，几乎无法对它进行计算。用傅里叶数学方法就可以把这样一个在时间上有限的波列，即一个“多时间频率”成分的“多色”光波，分解成

2、许多无限长波列的简谐波，即许多单频率成分的单色光波的叠加。这是傅里叶方法用于光学中的“时间分解”。第二章衍射和傅立叶光学的数理基础空间频谱分解在传播中或与物质相互作用中，在空间上受到种种限制的单色光波，其简谐波在空间范围内的延续性受到了破坏，也同样使得光波成为了非单色光。采用傅里叶方法把这些空间受限或空间调制的波面进行分解，可以得到许多不同方向或不同空间频率的平面波成分，这个分解称为空间频谱分解。第二章衍射和傅立叶光学的数理基础对于诸如光的传播、叠加(干涉)、衍射及成像等光学现象，传统的方法是在空间城中直接讨论。利用傅里叶方法就可以把对这些现象的分析转化到频率城

3、中，用频谱分析方法进行讨论，因为有时候，在空间分析这些问题是很困难的。可以说，傅里叶分析方法促进了现代光学的发展。第二章衍射和傅立叶光学的数理基础第一节常用非初等函数所谓初等函数，是指在自变量的定义域内，能用单一解析式对五种基本初等函数进行有限次数的四则运算和复合所构成的函数。在函数论中，有五种函数被称为基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。非初等函数是我们光学中常用的数学工具。非初等函数是指在自变量的定义域中，不能用单一解析式表示的函数。第二章衍射和傅立叶光学的数理基础一、标准形式的一维非初等函数sinc函数严格来说并不是非初等函数，

4、但是。我们在讨论衍射问题是会用到。第二章衍射和傅立叶光学的数理基础1.矩形函数矩形函数又称为门函数，记为矩形函数曲线下面积为1，即该函数满足：在光学上，常用矩形函数表示狭缝衍射孔径和矩形光源等。第二章衍射和傅立叶光学的数理基础2.sinc函数sinc函数定义为：它的中央极大被称为中央主极大，其宽度为2。其余称为次极大，宽度为1。在光学中，单缝的夫琅和费衍射后得到的复振幅就是一个sinc函数。曲线下面积为1：第二章衍射和傅立叶光学的数理基础sinc函数的另一个定义：Sinc函数的性质此时自变量是一个角度。将sinc函数平方，就得到：第二章衍射和傅立叶光学的数理基础

5、3.函数振幅的平方是光的强度，所以，函数表示的是单缝衍射得到的光强。二、一维非初等函数的一般形式在实际使用中，当然不可能总是只用到标准的函数，更经常用的应该是它们的一般形式。1.比例缩放、平移和反射一个一维矩形函数经过比例缩放、平移和反射后，得到一个一般形式的矩形函数：第二章衍射和傅立叶光学的数理基础各参数的意义第二章衍射和傅立叶光学的数理基础a——纵向缩放因子。它确定了函数的纵向缩放比例及反射（以为轴反射）。b——纵向平移因子。——横向平移因子。L——横向缩放因子。它确定了函数的横向缩放比例及反射（以x=x0为轴反射）2.非初等函数的四则运算和复合将非初等函数

6、进行四则运算和复合后就可以表示较为复杂的物理过程。矩形调制波。第二章衍射和傅立叶光学的数理基础该矩形调制波可表示为：三、常用二维非初等函数二维非初等函数的形式和描述它时选用的坐标系有关。坐标系的选取原则是有利于函数的简化运算。所以，非对称物理量通常选择在直角坐标系中来描述，而具有圆对称分布的物理量就选择在极坐标中描述。如果一个二维函数可以表示为：第二章衍射和傅立叶光学的数理基础则称这个二维函数为可分离变量函数。可分离变量函数我们可以将它当作两个一维函数的乘积，即可以分别对一维函数进行处理，再把它们乘起来即可。二维函数的可分离性与描述它时选取的坐标系有关。1.直角

7、坐标系中的二维非初等函数第二章衍射和傅立叶光学的数理基础二维矩形函数二维矩形函数二维矩形函数在直角坐标系中是可分离变量函数，它的定义为：第二章衍射和傅立叶光学的数理基础在光学中，这样的一个二维矩形函数常用来描述一个均匀照明方形小孔的振幅透射系数。二维矩形函数的一般形式可表示为：第二章衍射和傅立叶光学的数理基础它表示的是中心位于边长为的均匀照明矩形孔径的振幅透射系数。2.极坐标系中的二维非初等函数圆域函数又称为圆柱函数，记为：第二章衍射和傅立叶光学的数理基础或它在极坐标系中定义为：它在直角坐标系中的定义为：在光学中，圆域函数常用来描述均匀照明圆形孔径的透射系数。第

8、二章衍射和傅立叶光学的数