现代光学第3章傅里叶光学基础

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1、第3章傅里叶光学基础3.1光波的标量衍射理论3.2衍射问题的频率域分析3.3基尔霍夫衍射公式的近似3.4透镜的变换特性3.5光学成像系统的空间变换特性3.6光学成像系统的频率特性及其传递函数3.7实际光学系统的传递函数3.8相干成像和非相干成像的比较3.1光波的标量衍射理论3.1.1光衍射的数理基础1.衍射概述索末菲把“不能用反射或折射来解释的、光线对直线光路的任何偏离”定义为衍射。衍射是波动光学的普遍现象，几何光学认为光按直线传播是衍射理论的“短波长”近似。1818年，菲涅耳综合惠更斯原理和干涉原理

2、，认为次级波源是彼此相干的，由此得到惠更斯-菲涅耳原理：波前上任何一个未受阻挡的点，都可以看做一个次级波源，在其后空间任一点P处的光振动则是这些次级波源产生的次级波相干叠加的结果,其数学表达式为(3.1-1)图3.1-1惠更斯-菲涅耳原理示意图2.亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程是讨论基尔霍夫衍射积分定理的物理基础。根据1.1节的知识，光波场中P点在t时刻的光振动用复值标量函数u(P,t)表示，对于单色光场，有(3.1-2)式中:U(P)为光波场中P点的复振幅；ν为光波的时间频率。根据电磁场理论，光波场中的每

3、一个无源点上，光振动u(P,t)满足波动方程(3.1-3)式中:c为光在真空中的速度;为拉普拉斯算符。把式(3.1-2)代入式(3.1-3)，得到自由空间单色光场满足的波动方程为(3.1-4)式中:k=2πν/c=2π/λ为波矢量的大小。该式称为亥姆霍兹方程。这表明自由空间传播的任何单色光波的复振幅必然满足亥姆霍兹方程。3.格林定理格林定理是基尔霍夫衍射积分定理的数学基础。格林定理表述为设V是封闭曲面S所包围的体积，P是空间任一点，U(P)和G(P)为两个位置坐标的任意复函数，如果U(P)、G(P)

4、及其一阶、二阶偏微商在S上和S内都单值、连续，则有(3.1-5)3.1.2基尔霍夫衍射公式1.基尔霍夫积分定理为了应用格林定理，取如图3.1-2所示的积分面S，S包围的体积为V。令观察点P在封闭曲面S内，选择格林函数G为以P点为中心，向外发散的单位振幅的球面波函数，它在空间任一点P′处的复振幅为(3.1-6)图3.1-2积分曲面的选取式中:r为P与P′间的距离。由于函数G(P′)在P点的值为无穷大，因此为满足格林定理的要求，把P点从V内去掉。为此，以P点为中心，以ε为半径做小球面Sε，这样在以S和Sε

5、包围的体积V′上应用格林定理，有(3.1-7)在V′中,G和U都满足亥姆霍兹方程把上式代入式(3.1-7)，得到于是式(3.1-7)简化为或(3.1-8)在Sε面上，n与r处处反向，有　　　　　　　故(3.1-9)令ε→0，则有(3.1-10)式中:Ω为Sε面对P点所张开的立体角。将式(3.1-10)代入式(3.1-8)得(3.1-11)2.基尔霍夫衍射公式现在讨论无限大不透明屏幕上透光孔所引起的衍射问题。衍射装置如图3.1-3所示，从点源P0发出的单色光波，传播并通过不透明屏S′上的一个小孔Σ，在

6、屏后的P点观察。假设开孔Σ的线度、P0点和P点到孔Σ的距离远大于波长λ，P0和P到Σ上任一点P1的矢径分别为r0和r。图3.1-3平面屏衍射装置示意图为了应用基尔霍夫积分定理求P点的复振幅，选择包围P点闭合曲面S由三部分组成：①开孔Σ部分SΣ；②屏幕后表面部分面积S1；③以P点为中心，半径为R的部分球面SR。由基尔霍夫积分定理得到光场中P的复振幅为(3.1-12)1)索末菲辐射条件和SR上的积分　　对于SR面上的积分，由于基尔霍夫积分定理中积分面的选择的任意性，可以假定R→∞，则SR为趋于无限大的半

7、球壳。考虑到U和G在SR面上都按1/R随R的增大而减小，所以，R→∞时，在SR面上被积函数趋于零，但同时积分面的面积SR按R2增大，故不能直接认为SR面上的积分为零。下面具体讨论SR面上的积分。当R很大时，在SR面上有(3.1-13)因此(3.1-14)式中:Ω为SR对P点所张开的立体角。因为

8、eikR

9、在SR上有界，所以只要满足条件(3.1-15)在SR上的积分就等于零。我们称式(3.1-15)为索末菲辐射条件。索末菲辐射条件在有限大小光源照明的条件下都能满足。简单证明如下：首先设照明光源为点光源，

10、由图3.1-3可知，当R→∞时，就SR面上光场复振幅而言，P0和P间的距离以及屏幕的影响都可以忽略不计，于是SR面上光场复振幅可近似取为将其代入式(3.1-15)等号左面得到2)基尔霍夫边界条件及其衍射公式　　在忽略了SR面上的积分之后，要求解P点的复振幅，仍需要知道SΣ和S1上的光场复振幅分布U以及　　　　。为此基尔霍夫提出以下两个边界条件：(1)在透光孔面Σ上，光场复振幅分布U及其微商　　　　　与没有屏幕时完全相同；(2)在屏幕的背光面上，光场复