复变函数疑难问题分析.doc

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1、复变函数疑难问题分析1.设，。1）函数在区域中是否有无限个零点？2）若上小题的答案是肯定的，是否与解析函数零点的孤立性相矛盾？为什么？答：有无限个零点。可以具体写出其所以零点；不矛盾。因为这无限多个零点均为孤立零点；不可以展开为洛朗级数。因为为非孤立的奇点。2.“函数在z平面上是有界的”是否正确？在平面上无界。这是因为，令，则3.“函数为周期函数”是否正确？是以为周期的函数。因为，，为整数4.“是解析函数”是否正确？在平面上不解析。因为，所以，所以，，，但是，所以，在平面上处处不满足条件所以在平面上不解析。5.根据教材中建立起球面上的点（不包括北极点N）复平面上的

2、点间的一一对应，试求解下列问题。（1）复球面上与点对应的复数；（2）复数1+i与复球面上的那个点；13（3）简要说明如何定义扩充复平面。解：（1）建立空间直角坐标系（以点为原点，为轴正半轴），则过点与点的直线方程为。当时，，所以与复数对应。（2）复数的空间坐标为。则直线方程与球面相交，其交点为，（3）平面上以个模为无穷大的假想点一北极相对应，复平面上加上后称为扩充复平面。6．说明复变函数可微性与解析性的关系。复变函数在点处可导，又称为可微，而在处的某个邻域内任一点处均可导（可微），则称在处是解析的。所以（1）在点处可导(可微)，但不一定在处是解析的，（2）在处解析

3、是指在处的某个邻域内任一点处均可导，（3）在区域内可微与在区域内解析是等价的。7．在区域：上解析且有无穷多个零点，但在区域上不恒等于零，这与解析函数零点孤立性定理相矛盾吗？为什么？在区域，内有无穷多个零点，但，但，而区域是去心邻域，在点无意义，所以在处是不解析的，也即在内解析也有无穷多个零点，但也不恒等于0，与零点孤立性定理不矛盾。8.复级数与都发散,则级数和发散.这个命题是否成立?为什么?13答.不一定．反例:发散但收敛；发散；收敛.9.下列说法是否正确?为什么?(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.(2)每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.答:

4、(1)不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.(2)不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.10.为什么区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时，展开式的系数都是实数？因为当取实数值时，与的泰勒级数展开式是完全一致的，而在内，的展开式的系数都是实数。所以，在区域内，展开成的幂级数时，它的系数都是实数。11.由因为,所以有结果请解释错误的原因。答:因为要求而要求所以,在不同区域内1312.是函数的孤立奇点吗？为什么？解:因为的奇点有所以在的任意去心邻域，总包括奇点，当时，z=0。从而不是的孤立奇点.13.函数在处有一个二级极点，

5、但根据下面罗朗展开式：　　　　.我们得到“又是的本性奇点”，这两个结果哪一个是正确的？为什么?解:不对,z=1是f(z)的二级极点,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在内得到的在内的罗朗展开式为14.如何证明当时，和都趋于无穷大？证明：∴而当时，，有．当时，，有．13同理得所以当时有．15.设函数在内解析，且沿任何圆周C：，的积分为零，问是否需在处解析？试举例说明之。解：不一定。如令，则其在内解析，且沿任何圆周C：，的积分但显然在处不解析。16.设在单连通区域D内解析，且不为零，C为D内任何一条简单光滑闭曲线，问积分是否为零？为什么？解：等于零。因在D内解析，故具有

6、各阶导数且仍为解析函数，从而在D内也解析，又因在D内，故在D内解析，从而在C上及C的内部也解析，于是由Cauchy-Gourssat定理，有17.设在原点是否满足条件，是否可微？解：，同理。13从而在原点满足条件。又=当沿时故在原点不可微18.在数学分析中，要构造一个处处连续又处处不可微的例子是一件非常困难的事情，而在复变函数中，这样的例子却几乎是随手可得，请举出一个例子．例如：在平面上处处不可微．证明：不难看出在平面上处处连续，但对于任意一点．当取实数趋于零时，上述极限为，而当取纯虚数趋于零时，上述极限为，因此上述极限不存在，即在点不可导，由的任意性知在点平面上

7、处处不可微．19.“若和均为调和函数，则为解析函数”是否正确？解：不正确。例如：，都是调和函数，但不是解析函数。事实上，，13这表示是调和函数。但，即不满足C—R条件，从而不是解析函数。20.指出下列推导过程中的错误： 设，则（1）因为；   （2）所以； （3）于是有； （4）所以；（5）故得。解：推理步骤1）--3）是正确的，但3）至4）是错误的。可视为由两个相同数集各取一个元素相加所得的和的数集。而只是数集中每一数的两倍所成的数集。仅是的一个真子集。事实上，，所以21.在复变函数中，也可以象实分析中的既可看成以为底的指数函数，也可以看成数的次幂哪样理解吗？不

8、能，在复变