《线性代数》章节4.1.ppt

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1、第四章线性方程组解的结构理论§1齐次线性方程组解的结构一、 齐次线性方程组解的结构1解的性质性质1（1）的两个解的和还是（1）的解.性质2（1）的一个解的倍数还是（1）的解.性质3（1）的解的任一线性组合还是（1）的解.（1）2解空间所成集合，则空间，称之为齐次线性方程组（1）的解空间．设为齐次线性方程组（1）的全体解向量即关于解的线性运算封闭，所以是一个向量定义齐次线性方程组(1)一组解向量，若满足ii）(1)的任一解向量可由线性表出.i）线性无关；则称为(1)的一个基础解系．3基础解系定义4基础解系的存在性定理7在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系

2、所含解向量的个数等于，其中n是未知量的个数，证：则（1）可改写成若，不妨设（2）也即（1）的个解用组数就得到（2）的　　解，且满足：①线性无关.事实上，若②任取（1）的一个解　　下证即线性无关．故线性表出．可由事实上，由是（1）的解，得也为（1）的解，即为（1）的解.它与的最后个分量相同，即自由未知量的值相同，所以它们为同一个解．.故由①②知，为（1）的一个基础解系．推论1任一线性无关组的与（1）的某一基础解系等价的向量组都是（1）的基础解系．设为（1）的一个基础解系，线性无关，且与等价，且可由线性表出，所以　也为（1）的解向量证：则任取（1）的一个解向量，则可由从而可由线性

3、表出.线性表出，也是（1）的基础解系.推论2若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为r,则(1)的任意n－r个线性无关的解向量都是(1)的基础解系．设为(1)的一个基础解系，证：为(1)的n－r个线性无关的解向量，考察向量组知　　的秩为n－r.与都是向量组　的极大无关组.与　　　　　　等价.推论2得证.5齐次线性方程组解的结构若为齐次线性方程组（1）的一个基础解系，则（1）的一般解（或通解）为令则就是齐次线性方程组（1）的解空间．例1求齐次线性方程组的基础解系．解：对方程组的系数矩阵作初等行变换化阶梯阵令　得令　得原方程组的解为原方程的基础解系为附：求基础解系的一般方法对方程组

4、(1)的系数矩阵A作初等行变换，化A为行最简形．不妨设初等行变换第一步：写出方程组(1)的一般解：第二步：第三步：为自由未知量.代入自由未知量，用组数得出方程组(1)的解：向量组　　　　　　即为方程组(1)的一个基础解系.练习求齐次线性方程组的基础解系．