《线性代数》章节5.2和5.3

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1、一、可对角化的概念二、可对角化的条件§2矩阵的相似与对角化三、对角化的一般方法定义1：设是维线性空间V的一个线性变换，如果存在V的一个基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称线性变换　可对角化.矩阵，则称矩阵A可对角化.定义2：矩阵A是数域上的一个级方阵.如果存在一个上的级可逆矩阵，使为对角一、可对角化的概念1.(定理7)设为维线性空间V的一个线性变换，则可对角化　有个线性无关的特征向量.证：设在基下的矩阵为对角矩阵则有二、可对角化的条件就是的n个线性无关的特征向量.三、对角化的一般方法1°求出矩阵A的全部特征值2°对每一个特征值　，求出齐次线性方程组设为维线性空间V的一个线性变换，

2、为V的一组基，　在这组基下的矩阵为A.步骤:的一个基础解系（此即　的属于的全部线性无关的特征向量在基　　　　　下的坐标）.3°若全部基础解系所合向量个数之和等于n，则（或矩阵A）可对角化.以这些解向量为列，作一个n阶方阵T，则T可逆，是对角矩阵.而且有n个线性无关的特征向量　　　　　　从而T就是基　　　　　到基　　　　　的过渡矩阵.下的矩阵为基变换的过渡矩阵.问是否可对角化.在可对角化的情况下，写出例1.设复数域上线性空间V的线性变换在某组基解：A的特征多项式为得A的特征值是1、1、－1.解齐次线性方程组得故其基础解系为：所以，是　的属于特征值1的两个线性无关的特征向量.再解齐次线

3、性方程组　得故其基础解系为：所以，是的属于特征值－1的线性无关的特征向量.线性无关，故可对角化，且在基下的矩阵为对角矩阵即基到　　　　的过渡矩阵为例2.问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵T，使为以角矩阵.这里得A的特征值是2、2、-4.解:A的特征多项式为对于特征值2，求出齐次线性方程组对于特征值－4，求出齐次方程组的一个基础解系:（－2、1、0），（1、0、1）的一个基础解系:令则所以A可对角化.是对角矩阵（即D不可对角化）.项式.并证明：D在任何一组基下的矩阵都不可能练习：在　　　　　中,求微分变换D的特征多解：在　　中取一组基：则D在这组基下的矩阵为于是∴D的特征值为0（n重

4、）.的系数矩阵的秩为n－1，从而方程组的基础解系故D不可对角化.又由于对应特征值0的齐次线性方程组只含有一个向量，它小于　　的维数n（＞1）.