黄冈名师2020版高考数学大2证明不等式的基本方法课件理新人教A版选修4_52.ppt

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1、第二节证明不等式的基本方法(全国卷5年5考)1.比较法2.综合法一般地,从_________出发,利用_____、公理、_____、性质等,经过一系列的_____、_____而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法.综合法又叫_________或由因导果法.已知条件定义定理推理论证顺推证法3.分析法证明命题时,从___________出发,逐步寻求使它成立的_________,直至所需条件为_________或____________________(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一种执果索因的思考和证明方法.要证的结

2、论充分条件已知条件一个明显成立的事实【常用结论】1.重要不等式(1)a2+b2≥2ab,≥ab,a2+b2≥.(2)a,b∈R+,a+b≥2,a,b∈R,≥2.(3)a2+b2+c2≥ab+ac+bc.2.证明不等式的方法(1)比较法:包括作差、作商比较.(2)分析法:执果索因.(3)综合法:由因导果.(4)反证法:否定结论,推出矛盾.考点一　综合法证明不等式【题组练透】1.(2018·贵阳模拟)已知a,b,c均为正实数.(1)若ab+bc+ca=3,求证:a+b+c≥3.(2)若a+b=1,求证:≥9.【证明】(1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥

3、2ca三式相加可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥(ab+bc+ca)+2(ab+bc+ca)=3(ab+bc+ca)=9,又a,b,c均为正整数,所以a+b+c≥3成立.(2)因为a,b为正实数,a+b=1,所以a2+2ab+b2=1,所以当且仅当,即a=b=时,“=”成立.2.求证:≥2(a+b+c).【证明】因为+b≥2a,+b≥2c,+c≥2b,+c≥2a,+a≥2c,+a≥2b;所以≥4(a+b+c),即+2(a+b+c)≥4(a+b+c),故≥2(a+b+c).【规律方法】综合法证明不等式的方法

4、(1)综合法证明不等式,要着力分析已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键.(2)在用综合法证明不等式时,不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时,要注意性质成立的前提条件.考点二　分析法证明不等式【典例】(2019·洛阳模拟)已知m>0,a,b∈R,用分析法证明:.【证明】因为m>0,所以1+m>0,要证:.即证(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2),即证m(a2-2ab+b2)≥0,即证(a-b)2≥0,而(a-b)2≥0,显然成立,故.误区警示:利用分析法证明不等式容易出现步骤格式错误,应严格按

5、照分析法的步骤证明.【规律方法】分析法证明不等式应注意的问题(1)注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.(2)注意从要证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.(3)注意恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语.【对点训练】若a∈R,b∈R且a>0,b>0,2c>a+b.(1)综合法证明:c2>ab.(2)分析法证明:c-0,b>0,所以2c>a+b≥2,所以c>>0.故c2>ab.(2)要证明不等式成立,只要证即只要证明

6、a-c

7、<,即证(a-

8、c)20,2c>a+b,所以a(a+b-2c)<0成立,故原不等式成立.考点三　比较法证明不等式【明考点·知考法】比较法是证明不等式的常用方法,考查证明不等式的基本思路和化简整理的能力,证明的关键是对差式变形、整理、化简以判断差式的符号.命题角度1作差法证明不等式【典例】已知a>0,b>0,求证:【证明】因为所以原不等式成立.【状元笔记】1.作差法的一般步骤作差——变形——判号——结论2.对于较为复杂的证明问题,可以对要证明的式子适当变形后再作差,可以使作差变得简洁,但要注意变形的等价性命题角度2作商法证明不等式【典例】已

9、知a,b∈R+,证明:aabb≥abba.【证明】因为当a>b时,>1,a-b>0,故>1;当a=b时,=1,a-b=0,故=1;当a1.综上,aabb≥abba.【状元笔记】1.作商法证明不等式的一般步骤作商——变形——判断(与1的大小)——结论2.作商法一般适用于具有同号的式子、指数式、幂式等特征的不等式的证明.