黄冈名师2020版高考数学大7.3基本不等式课件理新人教A版.ppt

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1、第三节基本不等式(全国卷5年1考)【知识梳理】1.基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件两个不等式的关系a2+b2≥2aba,b∈Ra=b在不等式a2+b2≥2ab中,若a>0,b>0,分别以代替a,b可得a+b≥2即a>0,b>0a=b设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为几何平均数为基本不等式可叙述为_____________________________________________两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.利用基本不等式求最值已知x>0,y>0,则:(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有_____值是2(简记:________

2、___).(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有_____值是(简记:___________).最小积定和最小最大和定积最大【常用结论】1.基本不等式的两种常用变形形式(1)ab≤(a,b∈R,当且仅当a=b时取等号).(2)a+b≥2(a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号).2.几个重要的结论【基础自测】题组一:走出误区1.判断下列说法是否正确(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式a2+b2≥2ab与成立的条件是相同的.()(2)函数y=2x+的最小值是2.()(3)x>0且y>0是≥2的充要条件.()提示:(1)×.不等式a2+b2≥2ab成立的条件是

3、a,b∈R;不等式成立的条件是a≥0,b≥0.(2)×.函数y=2x+的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),没有最小值.(3)×.x>0且y>0是≥2的充分不必要条件.2.在下列函数中,最小值等于2的函数是()【解析】选D.当x<0时,y=x+≤-2,故A错误;因为02,故B错误;因为所以y=>2,故C错误;因为ex>0,所以y=ex+-2≥-2=2,当且仅当ex=,即ex=2时等号成立.3.设a>0,若关于x的不等式x+≥5在(1,+∞)上恒成立,则a的最小值为()A.16B.9C.4D.2【解析】选C.在(1,+∞)上,x+=(x

4、-1)++1≥+1=2+1(当且仅当x=1+时取等号),由题意知2+1≥5,所以2≥4,≥2,a≥4.题组二:走进教材1.(必修5P99例1(2)改编)设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为()A.80B.77C.81D.82【解析】选C.由基本不等式得18=x+y≥2,所以9≥,所以xy≤81,当且仅当x=y时,xy有最大值81.2.(必修5P100A组T2改编)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,则这个矩形的长为________m,宽为________m时菜园面积最大.【解析】设矩形的长为xm,宽为ym,则x+2y=30,所以S=xy=x·(

5、2y)≤当且仅当x=2y,即x=15,y=时取等号.答案:15考点一　利用基本不等式求最值【明考点·知考法】利用基本(均值)不等式求最值,一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值,或已知两个非负数的乘积为定值求其和的最小值,高考对其考查的频率低,但也要引起重视.命题角度1通过配凑法求最值【典例】(1)若x<则f(x)=4x-2+的最大值为________.(2)函数y=的最大值为________.【解析】(1)因为x<所以5-4x>0,则f(x)=4x-2+=+3≤+3=-2+3=1.当且仅当5-4x=即x=1时,等号成立.故f(x)=4x-2+的最大值为1.答案:1(2)令

6、t=≥0,则x=t2+1,所以y=当t=0,即x=1时,y=0;当t>0,即x>1时,y=因为t+=4(当且仅当t=2时取等号),所以y=即y的最大值为(当t=2,即x=5时y取得最大值).答案:【状元笔记】(1)注意事项:利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)巧妙应用:在利用基本(均值)不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本(均值)不等式.命题角度2通过常值代换法求最值【典例】若正数

7、x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为________.【解析】由x+3y=5xy可得=1,所以3x+4y=(3x+4y)=5(当且仅当即x=1,y=时,等号成立),所以3x+4y的最小值是5.答案:5【状元笔记】巧法妙用(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.(4)利用基本不等式求解最值.【一题多解微课】本题还可以采用以下方法求解:【解析】由