微积分 第十一章 差分方程初步.ppt

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1、差分方程初步第十一章在第十章中我们讨论了微分方程，在那里，自变量x是在给定区间内连续取值的，所求函数是自变量x的连续函数．然而，在经济与管理的实际问题中，经济数据绝大多数是以等间隔时间周期地统计的．基于这一原因，在研究分析实际经济与管理问题时，各有关的经济变量的取值是离散(非连续)化的，描述各经济变量之间的变化规律的数学模型也是离散(非连续)型的．而最常见的一类离散型经济数学模型就是差分方程模型．第一节差分方程的基本概念一、差分的概念定义1设函数yt=f(t)在t=…,-2,-1,0,1,2,…处有定义,对应的函数值为…,y-2,y-1,y0,y1,y2,…,则函数y

2、t=f(t)在时间t的一阶差分定义为Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)．依此定义类推,有Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1),Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2),………………给定函数,其自变量t(通常表示时间)的取值为离散等间隔的整数值：t=…,-2,-1,0,1,2,…．因t是离散地取等间隔值，那么函数只能在相应的点有定义．(1)若yt=C(C为常数),则Dyt=0;(2)对于任意常数k,D(kyt)=kDyt;(3)D(yt+zt)=Dyt+Dzt．由定义1，我们很容易验证一阶差分具有如下性质：因为函数的一

3、阶差分通常还是t的函数，故可以考虑求的差分，进而还可继续考虑的差分的差分，如此等等，这样的差分统称为高阶差分．定义2函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分,即D2yt=D(Dyt)=Dyt+1-Dyt=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt．依此定义类推,有D2yt+1=Dyt+2-Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1,D2yt+2=Dyt+3-Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2,………………类推,计算两个相继的二阶差分之差,便得到三阶差分D3yt=D2yt+1-D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1

4、-yt,D3yt+1=D2yt+2-D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1,………………一般地,k阶差分(k为正整数)定义为这里二、差分方程定义3含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分yt,2yt,…的函数方程,称为常差分方程(简称差分方程);出现在差分方程中的差分的最高阶数,称为差分方程的阶.n阶差分方程的一般形式为F(t,yt,yt,…,nyt)=0,其中F是t,yt,yt,…,nyt的已知函数,且nyt一定要在方程中出现．定义3′含有两个或两个以上函数值yt,yt+1,…的函数方程,称为(常)差分方程,出现在差分方程中未知函数下

5、标的最大差,称为差分方程的阶．n阶差分方程的一般形式为F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0,（*）其中F为t,yt,yt+1,…，yt+n的已知函数,且yt和yt+n一定要在差分方程中出现.由于在经济模型中，通常遇到的是后一种定义下的差分方程．因此，今后我们将只讨论形如（*）式的差分方程．三、差分方程的解定义4如果将已知函数yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0,使其对t=…,-2,-1,0,1,2,…成为恒等式,则称yt=j(t)为方程的解.含有n个任意(独立)常数C1,C2,…,Cn的解yt=(t,C1,C2,…,Cn)称为n阶差

6、分方程的通解.在通解中给任意常数C1,C2,…,Cn以确定的值所得的解,称为n阶差分方程的特解.例如,函数yt=at+C(a为已知常数,C为任意常数)是差分方程yt+1-yt=a的通解.而函数yt=at,yt=at-1,…均是这个差分方程的特解.由差分方程的通解来确定它的特解,需要给出确定特解的定解条件.n阶差分方程F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0常见的定解条件为初始条件.y0=a0,y1=a1，…,yn-1=an-1，这里a0,a1,a2,…，an-1均为已知常数．只要保持差分方程中的时间滞后结构不变,无论对t提前或推后一个相同的等间隔值,所得新方程与原方

7、程是等价的,即二者有相同的解.例如,方程ayt+1-byt=0与方程ayt+2-byt+1=0都是相互等价的．特别值得注意的是：基于差分方程的这一特征，在研究差分方程中，为了方便和需要，我们经常随意地移动差分方程中的时间下标，只要保证方程中所有时间下标均移动一个相同的整数值即可由此可见，在差分以及差分方程的解的定义中，对t=0,1,2,…恒成立时，对t=-1,-2,…也是成立的．为此，今后也就只需讨论t=0,1,2,…的情形．四、线性差分方程及其基本定理形如yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+…+an-1(t)yt＋1+an(t