§10.2 二重积分的计算法(二).ppt

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1、一、利用极坐标计算二重积分二、小结思考题§10.2二重积分的计算法（二）1一、利用极坐标系计算二重积分首先分割区域D两组曲线将D分割成许多小区域用1.极坐标系下二重积分表达式2将典型小区域近似看作矩形（面积=长×宽）则面积元素扇形弧长径向宽度3则二重积分极坐标表达式可得下式极坐标系下的面积元素为直角坐标系下的面积元素为区别注意42.二重积分化为二次积分的公式区域特征如图（1）极点O在区域D的边界曲线之外时定限口诀仍适用注5若区域特征如图特别地定限口诀6（2）极点O恰在区域D的边界曲线之上时区域特征如图定限口诀（1）的特例73.极坐标系下区域的面积区域

2、特征如图（3）极点O在区域D的边界曲线之内时定限口诀（2）的特例8下列各图中区域D分别与x,y轴相切于原点,试问的变化范围是什么?答:(1)(2)观察练习9解例110xyo的原函数不是初等函数,故本题无法由于用直角坐标计算.例2解注1.11利用例2可得到一个在概率论与数理统计中、以及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D为R2时,利用例2的结果,得①故①式成立.该法比教材上的方法简捷.注2.说明12例3解13（课本P148例6）由对称性其中例4解用极坐标表示14经验一般来说，当积分区域为圆形、扇形、环形区域，而被积函数中含有时，采用极坐标计算二重

3、积分往往比较简单.15二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）二、小结16[二重积分计算步骤及注意事项]•画出积分域•选择坐标系[直角坐标or极坐标]•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积分好算为妙图示法不等式(投影穿线法)充分利用奇偶对称性应用几何意义17