（新课标）2020高考数学二轮总复习能力练1空间想象能力文.docx

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1、能力练(一)　空间想象能力一、选择题1．已知α，β是两个不同的平面，有下列三个条件：①存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β；②存在一条直线a，a⊥β；③存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α.其中，所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是(　　)A．①B.②C.③D.①③解析：对于①，存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β，则α⊥β，反之也对，即“存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β”是“α⊥β”的充要条件，所以①对，可排除B，C；对于③，存在两条垂直的直线a，b，则直线a，b所成的角为90°，因为a⊥β，b⊥α，所以α，β所成的角为90°，即α⊥β，反

2、之也对，即“存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α”是“α⊥β”的充要条件，所以③对，可排除A，选D.答案：D2．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体A－OEF中，下列说法不正确的序号是(　　)①AO⊥平面EOF；②AH⊥平面EOF；③AO⊥EF；④AF⊥OE；⑤平面AOE⊥平面AOF.A．①B.②C.③D.④⑤解析：∵OA⊥OE，OA⊥OF，OE∩OF＝O，∴OA⊥平面EOF，故①正确，②错误；∵EF⊂平面EOF，∴A

3、O⊥EF，故③正确；同理可得OE⊥平面AOF，∴OE⊥AF，故④正确；又OE⊂平面AOE，∴平面AOE⊥平面AOF，故⑤正确；因此，不正确的序号是②.答案：B3．(2018·洛阳第一次联考)已知球O与棱长为4的正四面体的各棱均相切，则球O的体积为(　　)A.πB.πC.πD.πA　解析：将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2.因为球O与正四面体的各棱都相切，所以球O为正方体的内切球，即球O的直径为正方体的棱长2，则球O的体积V＝πR3＝π.4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱

4、长和底边长均为4，且侧棱垂直于底面，正视图是边长为4的正方形，则棱柱的侧视图面积为(　　)A．8B.2C.D.4解析：侧视图为一矩形(如图所示)，其高AB等于侧棱长，即AB＝4，底边BC等于底面三角形边的高，即BC＝×4＝2，∴侧视图的面积为4×2＝8.答案：A5．已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，且其外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长为(　　)A.B.2C.4D.3解析：因为该直三棱柱的外接球的表面积是16π，所以该球的半径为R＝2.又直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，所以该三棱柱的底面斜边所在的

5、侧面必过球心，故该三棱柱的侧棱长是2＝.答案：A6．如图，直三棱柱ABC－A′B′C′中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝4，点E，F，G，H，M分别是边AA′，AB，BB′，A′B′，BC的中点，动点P在四边形EFGH内部运动(包括边界)，并且始终有MP∥平面ACC′A′，则动点P的轨迹长度为(　　)A．2B.2πC.2　D.4D　解析：连接MF，FH，MH，易证明MF∥平面AA′C′C，FH∥平面AA′C′C，又MF⊂平面MFH，HF⊂平面MFH，MF∩HF＝F，所以平面MFH∥平面AA′C′C，所以点P的运动轨迹是线段F

6、H，其长度为4.二、填空题7．四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥P－ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有　　　　对．解析：由题意可得PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，BD⊥PC，AD⊥PB，即互相垂直的异面直线共有6对．答案：68．如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为　　　　.解析：如图，取BC的中点H，连接FH，AH，∴BE

7、∥FH，∴∠AFH即为异面直线AF与BE所成的角．过A作AG⊥EF于G，则G为EF的中点．连接HG，HE，则△HGE是直角三角形．设正方形边长为2，则EF＝，HE＝，EG＝，∴HG＝＝，∴AH＝＝.由余弦定理知cos∠AFH＝＝＝.答案：9．如图，侧棱长为2的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面△AEF，则截面△AEF的周长的最小值为____________．解析：沿着侧棱VA把正三棱锥V－ABC展开在一个平面内，如图，则AA′即为截面△AEF周长的最小值，且∠AVA′＝3×40°＝120°，VA＝

8、VA′＝2.在△VAA′中，由余弦定理可得AA′＝6.答案：6三、解答题10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP＝AD，M，N分别为棱PD，PC的中点．求证：(1)MN∥平面