2017年数学（文）高考二轮复习：《空间想象能力》测试（含答案）

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1、2017年数学（文）高考二轮复习：《空间想象能力》测试1．已知α，β是两个不同的平面，有下列三个条件：①存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β；②存在一条直线a，a⊥β；③存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α.其中，所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是(　　)A．①　　　　　　　　　　B．②C．③D．①③解析：对于①，存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β，则α⊥β，反之也对，即“存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β”是“α⊥β”的充要条件，所以①对，可排除B，C；对于③，存在两条垂直的直线a，b，则直线a，b所成的角为90°，因为a⊥β，b⊥α，所以α，β所成的角为90°，即α⊥β，反之也对，即“存在

2、两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α”是“α⊥β”的充要条件，所以③对，可排除A，选D.答案：D2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)A.＋5B.C.＋6D.＋5解析：由几何体的三视图知该几何体的上部是底面边长为1、高为1的正四棱锥，侧面三角形的高为＝；下部是棱长为1的正方体；∴该几何体的表面积为×1××4＋1×1×5＝＋5，故选D.答案：D3.(2016·天津模拟)如图为一个几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)A．6－B．6－C．3－D．3－解析：分析三视图可知，该几何体是由一个长方体挖去半个圆柱而得到的，如图所示，因而其体积为2×1×1.5－×π×12×1.

3、5＝3－.故选D.答案：D4.已知正四棱锥的底面边长为2a，其侧视图如图所示．当正视图的面积最大时，该正四棱锥的表面积为(　　)A．8B．8＋8C．8D．4＋8解析：由题意可知该正四棱锥的直观图如图所示．其正视图与侧视图相同，设正四棱锥的高为h，则a2＋h2＝4.故正视图的面积为S＝×2a×h＝ah≤＝2，当且仅当a＝h＝时，S最大．故该正四棱锥的表面积为S表＝(2a)2＋4××2a×2＝8＋8.故选B.答案：B5．已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，且其外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长为(　　)A.B．2C．4D．3解析：因为该直三棱柱的外接球的表面积是16π，

4、所以该球的半径为R＝2.又直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，所以该三棱柱的底面斜边所在的侧面必过球心，故该三棱柱的侧棱长是2＝，故选A.答案：A6．(2016·昆明模拟)一个正三棱柱被平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)A.B.C.D.解析：依题意，剩余部分所表示的几何体是从正三棱柱ABCA1B1C1(其底面边长是2)中截去三棱锥EA1B1C1(其中E是侧棱BB1的中点)，因此三棱锥EA1B1C1的体积为VEA1B1C1＝××2××1＝，剩余部分的体积为V＝VABCA1B1C1－VEA1B1C1＝×2××2－＝，因此截去部分体积

5、与剩余部分体积的比值为，选A.答案：A7．四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥PABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有________对．解析：由题意可得PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，BD⊥PC，AD⊥PB，即互相垂直的异面直线共有6对．答案：68.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为________．解析：如图，取BC的中点H，连接FH，AH，∴BE∥FH，∴∠AFH即为异面

6、直线AF与BE所成的角．过A作AG⊥EF于G，则G为EF的中点．连接HG，HE，则△HGE是直角三角形．设正方形边长为2，则EF＝，HE＝，EG＝，∴HG＝＝，∴AH＝＝.由余弦定理知cos∠AFH＝＝＝.答案：9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球的表面积的比值为________．解析：该几何体是棱长为1的正八面体，其表面积为8××1×1×sin60°＝2，其外接球的半径为，故外接球的表面积为4π2＝2π，所以所求比值为.答案：10.如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；

7、(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.解析：(1)证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1，且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD.而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD.(2)证明：因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC.又BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D.而MD⊂平面BB1