2020届高考数学平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例冲关训练.docx

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1、第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．设向量a，b满足

2、a＋b

3、＝，

4、a－b

5、＝，则a·b＝(　　)A．1　　B．2　　　C．3　　　D．5解析：A　[由已知得

6、a＋b

7、2＝10，

8、a－b

9、2＝6，两式相减，得a·b＝1.]2．(2019·玉溪市一模)已知a与b的夹角为，a＝(1,1)，

10、b

11、＝1，则b在a方向上的投影为(　　)A.B.C.D.解析：C　[根据题意，a与b的夹角为，且

12、b

13、＝1，则b在a方向上的投影

14、b

15、cos＝.]3．已知D是△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(－)＝0，则△ABC是(　　)A．等腰三角形

16、B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：A　[(－)·(－)＝(－)·＝0，所以·＝·，设BC＝a，AC＝b，所以acosB＝bcosA，利用余弦定理化简得a2＝b2，即a＝b，所以△ABC是等腰三角形．]4．(2019·重庆市模拟)如图，在圆C中，弦AB的长为4，则·＝(　　)A．8B．－8C．4D．－4解析：A　[如图所示，在圆C中，过点C作CD⊥AB于D，则D为AB的中点；在Rt△ACD中，AD＝AB＝2，可得cosA＝＝，∴·＝

17、

18、×

19、

20、×cosA＝4×

21、

22、×＝8.故选A.]5．已知正方形ABCD的边长为2，点F

23、是AB的中点，点E是对角线AC上的动点，则·的最大值为(　　)A．1B．2C．3D．4解析：B　[以A为坐标原点，、方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则F(1,0)，C(2,2)，D(0,2)，设E(λ，λ)(0≤λ≤2)，则＝(λ，λ－2)，＝(1,2)，所以·＝3λ－4≤2.所以·的最大值为2.故选B.]6．(2019·珠海市模拟)设向量a＝(1,3m)，b＝(2，－m)，满足(a＋b)·(a－b)＝0，则m＝________.解析：向量a＝(1,3m)，b＝(2，－m)，则a＋b＝(3,2m)，a－b＝(

24、－1,4m)，由(a＋b)·(a－b)＝0，得－3＋8m2＝0，解得m＝±.答案：±7．(2019·内江市一模)已知正方形ABCD的边长为2，则·(＋)＝________.解析：如图所示，正方形ABCD的边长为2，·(＋)＝·(＋2)＝2＋2·＝4.答案：48．(2019·吕梁市一模)已知a＝(1，λ)，b＝(2,1)，若向量2ab与c＝(8,6)共线，则a在b方向上的投影为______．解析：2a＋b＝(4,2λ＋1)，∵2a＋b与c＝(8,6)共线，∴2λ＋1＝3，即λ＝1.∴a·b＝2＋λ＝3，∴a在b方向上的投影为

25、a

26、·c

27、os〈a，b〉＝＝＝答案：9．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的投影．解：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0·a＝0.(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb与a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.∴λ的值为.(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为

28、a

29、

30、cosθ.∴

31、a

32、cosθ＝＝＝－＝－.10．已知如图，△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC＝120°，且·＝－.(1)求△ABC的面积；(2)若AB＝5，求AD的长．解：(1)∵·＝－，∴

33、

34、·

35、

36、·cos∠BAC＝－

37、

38、·

39、

40、＝－，即

41、

42、·

43、

44、＝15，∴S△ABC＝

45、

46、·

47、

48、sin∠BAC＝×15×＝.(2)法一：由AB＝5得AC＝3，延长AD到E，使AD＝DE，连接BE.∵BD＝DC,∴四边形ABEC为平行四边形，∴∠ABE＝60°，且BE＝AC＝3.设AD＝x，则AE＝2x，在△ABE中，由余弦定理得：(2x)2＝AB2

49、＋BE2－2AB·BEcos∠ABE＝25＋9－15＝19，解得x＝，即AD的长为.法二：由AB＝5得AC＝3，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝25＋9＋15＝49，得BC＝7.由正弦定理得＝，得sin∠ACD＝＝＝.∵0°<∠ACD<90°∴cos∠ACD＝＝.在△ADC中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos∠ACD＝9＋－2×3××＝，解得AD＝.法三：由AB＝5得AC＝3，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝25＋9＋15＝49,得

50、BC＝7.在△ABC中，cos∠ACB＝＝＝.在△ADC中，由AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos∠ACD＝9＋－2×3××＝.解得AD＝.