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《2020版高考数学第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例教学案.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例[考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.向量的夹角已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB就是向量a与b的夹角,向量夹角的范围是:[0,π].2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量
2、a
3、
4、b
5、cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b
6、投影
7、a
8、cosθ叫做向量a在b方向上的投影,
9、b
10、cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度
11、a
12、与b在a的方向上的投影
13、b
14、cosθ的乘积3.平面向量数量积的运算律(1)交换律:a·b=b·a;(2)数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.4.平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=〈a,b〉.结论几何表示坐标表示模
15、a
16、=
17、a
18、=数量积a·b=
19、a
20、
21、b
22、cosθa·b=x1x2+y1y2夹角cosθ=cosθ=a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0
23、a
24、·b
25、与
26、a
27、
28、b
29、的关系
30、a·b
31、≤
32、a
33、
34、b
35、
36、x1x2+y1y2
37、≤·[常用结论]1.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0且a,b不共线.[基础自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数,向量的数乘运算的运算结果是向量.( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.( )(3)由a·b=0可得a=0或b=0.( )(4)(a·b
38、)c=a(b·c).( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.(教材改编)已知
39、a
40、=6,
41、b
42、=3,向量a在b方向上的投影是4,则a·b为( )A.12 B.8 C.-8 D.2A [∵a·b=
43、a
44、
45、b
46、cos〈a,b〉=
47、b
48、
49、a
50、cos〈a,b〉=3×4=12.]3.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( )A.-8B.-6C.6D.8D [∵a=(1,m),b=(3,-2),∴a+b=(4,m-2),由(a+b)⊥b可得(a+b)·b=12-2m+4=16-2m=0,即m=8.]4.已知a,b是平面向量,如果
51、a
52、=3,
53、
54、b
55、=4,
56、a+b
57、=2,那么
58、a-b
59、=( )A.B.7C.5D.A [∵
60、a
61、=3,
62、b
63、=4,
64、a+b
65、=2,∴a2+b2+2a·b=4,即2a·b=-21.∴
66、a-b
67、===.]5.已知向量a=(1,),b=(,1),则a与b夹角的大小为________. [由题意得
68、a
69、==2,
70、b
71、==2,a·b=1×+×1=2.设a与b的夹角为θ,则cosθ==.∵θ∈[0,π],∴θ=.]平面向量数量积的运算1.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影是( )A.-3 B.- C.3 D.A [依题意得,=(-2,-1),
72、=(5,5),·=-15,
73、
74、=,因此向量在方向上的投影是==-3,故选A.]2.在△ABC中,AB=4,BC=6,∠ABC=,D是AC的中点,E在BC上,且AE⊥BD,则·=( )A.16B.12C.8D.-4A [建立如图所示的平面直角坐标系,则A(4,0),B(0,0),C(0,6),D(2,3).设E(0,b),因为AE⊥BD,所以·=0,即(-4,b)·(2,3)=0,所以b=,所以E,=,所以·=16,故选A.]3.已知菱形ABCD的边长为6,∠ABD=30°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=2BE,CD=λCF.若·=-9,则λ的值为( )A.2B.3C.4D.5B
75、 [依题意得=+=-,=+,因此·=·=2-2+·,于是有×62+×62×cos60°=-9,由此解得λ=3,故选B.][规律方法] 1.向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=
76、a
77、
78、b
79、cos〈a,b〉;(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.2.解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时,常利用解析法,巧妙构造