2020版高考数学第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例教学案.docx

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1、第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例[考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.向量的夹角已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB就是向量a与b的夹角,向量夹角的范围是:[0,π].2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b

6、投影

7、a

8、cosθ叫做向量a在b方向上的投影,

9、b

10、cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度

11、a

12、与b在a的方向上的投影

13、b

14、cosθ的乘积3.平面向量数量积的运算律(1)交换律:a·b=b·a;(2)数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.4.平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=〈a,b〉.结论几何表示坐标表示模

15、a

16、=

17、a

18、=数量积a·b=

19、a

20、

21、b

22、cosθa·b=x1x2+y1y2夹角cosθ=cosθ=a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0

23、a

24、·b

25、与

26、a

27、

28、b

29、的关系

30、a·b

31、≤

32、a

33、

34、b

35、

36、x1x2+y1y2

37、≤·[常用结论]1.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0且a,b不共线.[基础自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数,向量的数乘运算的运算结果是向量.(  )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.(  )(3)由a·b=0可得a=0或b=0.(  )(4)(a·b

38、)c=a(b·c).(  )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.(教材改编)已知

39、a

40、=6,

41、b

42、=3,向量a在b方向上的投影是4,则a·b为(  )A.12  B.8  C.-8  D.2A [∵a·b=

43、a

44、

45、b

46、cos〈a,b〉=

47、b

48、

49、a

50、cos〈a,b〉=3×4=12.]3.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=(  )A.-8B.-6C.6D.8D [∵a=(1,m),b=(3,-2),∴a+b=(4,m-2),由(a+b)⊥b可得(a+b)·b=12-2m+4=16-2m=0,即m=8.]4.已知a,b是平面向量,如果

51、a

52、=3,

53、

54、b

55、=4,

56、a+b

57、=2,那么

58、a-b

59、=(  )A.B.7C.5D.A [∵

60、a

61、=3,

62、b

63、=4,

64、a+b

65、=2,∴a2+b2+2a·b=4,即2a·b=-21.∴

66、a-b

67、===.]5.已知向量a=(1,),b=(,1),则a与b夹角的大小为________. [由题意得

68、a

69、==2,

70、b

71、==2,a·b=1×+×1=2.设a与b的夹角为θ,则cosθ==.∵θ∈[0,π],∴θ=.]平面向量数量积的运算1.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影是(  )A.-3   B.-   C.3   D.A [依题意得,=(-2,-1),

72、=(5,5),·=-15,

73、

74、=,因此向量在方向上的投影是==-3,故选A.]2.在△ABC中,AB=4,BC=6,∠ABC=,D是AC的中点,E在BC上,且AE⊥BD,则·=(  )A.16B.12C.8D.-4A [建立如图所示的平面直角坐标系,则A(4,0),B(0,0),C(0,6),D(2,3).设E(0,b),因为AE⊥BD,所以·=0,即(-4,b)·(2,3)=0,所以b=,所以E,=,所以·=16,故选A.]3.已知菱形ABCD的边长为6,∠ABD=30°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=2BE,CD=λCF.若·=-9,则λ的值为(  )A.2B.3C.4D.5B

75、 [依题意得=+=-,=+,因此·=·=2-2+·,于是有×62+×62×cos60°=-9,由此解得λ=3,故选B.][规律方法] 1.向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=

76、a

77、

78、b

79、cos〈a,b〉;(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.2.解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时,常利用解析法,巧妙构造

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