高考数学第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例教学案.docx

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1、第三节　平面向量的数量积与平面向量应用举例[考纲传真]　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角．(2)范围：0°≤∠AOB≤180°.(3)向量垂直：∠AOB＝90°时，a与b垂直，记作a⊥b.规定：零向量可与

2、任一向量垂直．2．平面向量的数量积(1)射影的定义设θ是a与b的夹角，则

3、b

4、cosθ叫作向量b在a方向上的射影，

5、a

6、cosθ叫作向量a在b方向上的射影．(2)平面向量数量积的定义已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，把

7、a

8、

9、b

10、cosθ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b.(3)数量积的几何意义a与b的数量积等于a的长度

11、a

12、与b在a方向上的射影

13、b

14、·cosθ的乘积，或b的长度

15、b

16、与a在b方向上射影

17、a

18、cosθ的乘积．3．平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝

19、a·b＋a·c.4．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．结论几何表示坐标表示模

20、a

21、＝

22、a

23、＝数量积a·b＝

24、a

25、

26、b

27、cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝cosθ＝a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0

28、a·b

29、与

30、a

31、

32、b

33、的关系

34、a·b

35、≤

36、a

37、

38、b

39、

40、x1x2＋y1y2

41、≤·1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．2．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b

42、2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3．当a与b同向时，a·b＝

43、a

44、

45、b

46、；当a与b反向时，a·b＝－

47、a

48、

49、b

50、.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，向量与的夹角为∠B．(　　)(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　)(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．(　　)(4)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．(教材改编)设a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，则t的值

51、为(　　)A．－4　　B．4　　　　C．　　　　D．－A　[a·b＝5×(－6)－7t＝－2，解得t＝－4，故选A．]3．(教材改编)已知

52、a

53、＝2，

54、b

55、＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ为(　　)A．B．C．D．D　[cosθ＝＝＝－，又0≤θ≤π，则θ＝，故选D．]4．已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________.2　[由a⊥b得a·b＝0，即－6＋3m＝0，解得m＝2.]5．(教材改编)已知

56、a

57、＝5，

58、b

59、＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．－2　[由数量积的定义知，b在a方向上的投影为

60、b

61、

62、cosθ＝4×cos120°＝－2.]平面向量数量积的运算1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足

63、a

64、＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)A．4　　B．3　　　　C．2　　　　D．0B　[因为

65、a

66、＝1，a·b＝－1，所以a·(2a－b)＝2

67、a

68、2－a·b＝2×12－(－1)＝3，故选B．]2．已知＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为(　　)A．－B．－3C．D．3C　[因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影为

69、

70、cos〈，〉＝＝＝，故选C．]3．已知△ABC是边长

71、为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)A．－B．C．D．B　[如图所示，＝＋.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝，所以＝＋.又＝－，则·＝·(－)＝·－2＋2－·＝2－2－·.又

72、

73、＝

74、

75、＝1，∠BAC＝60°，故·＝－－×1×1×＝.故选B．][规律方法]　平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝

76、a

77、

78、b

79、cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用