2019版高考数学复习平面向量数系的扩充与复数的引入课时达标26平面向量的数量积与平面向量应用举例

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1、第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例[解密考纲]本考点重点考查平面向量的数量积及其几何意义，往往借助于数量积求模长、夹角、面积等，多以选择题、填空题的形式考查，题目难度中等偏难．一、选择题1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是(　D　)A．x＝－　　B．x＝－1C．x＝5　　D．x＝0解析由向量垂直的充要条件，得2(x－1)＋2＝0.解得x＝0.2．已知非零向量a，b，

2、a

3、＝

4、b

5、＝

6、a－b

7、，则cos〈a，a＋b〉＝(　C　)A．　　B．－C．　　D．－解析设

8、a

9、＝

10、b

11、＝

12、a－b

13、＝1，则(a－b)2＝a2－2

14、a·b＋b2＝1，∴a·b＝，∴a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋＝.∵

15、a＋b

16、＝＝＝，∴cos〈a，a＋b〉＝＝.3．已知向量

17、

18、＝2，

19、

20、＝4，·＝4，则以，为邻边的平行四边形的面积为(　A　)A．4　　B．2C．4　　D．2解析因为cos∠AOB＝＝＝，所以∠AOB＝60°，sin∠AOB＝.所以所求的平行四边形的面积为

21、

22、·

23、

24、·sin∠AOB＝4，故选A．4．(2018·山西四校二联)已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且

25、a

26、＝2，

27、b

28、＝1，则向量a与b夹角的正弦值为(　D　)A．－　　B．－C．　　D．解析∵a·(a＋b)＝a2＋

29、a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，∴sin〈a，b〉＝＝，故选D．5．(2018·甘肃兰州模拟)若△ABC的三个内角A，B，C度数成等差数列，且(＋)·＝0，则△ABC一定是(　C　)A．等腰直角三角形B．非等腰直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形解析因为(＋)·＝0，所以(＋)·(－)＝0，所以2－2＝0，即

30、

31、＝

32、

33、，又A，B，C度数成等差数列，故2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，所以2B＝π－B，所以3B＝π，B＝，故△ABC是等边三角形．6．(2018·福建厦门模

34、拟)在△ABC中，∠A＝120°，·＝－1，则

35、

36、的最小值是(　C　)A．　　B．2C．　　D．6解析由·＝

37、

38、

39、

40、cos120°＝－

41、

42、

43、

44、＝－1，得

45、

46、

47、

48、＝2，

49、

50、2＝

51、－

52、2＝2＋2－2AB·＝2＋2＋2≥2

53、

54、

55、

56、＋2＝6，当且仅当

57、

58、＝

59、

60、时等号成立．所以

61、

62、≥，故选C．二、填空题7．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且

63、a＋b

64、2＝

65、a

66、2＋

67、b

68、2，则m＝__－2__.解析由

69、a＋b

70、2＝

71、a

72、2＋

73、b

74、2得a·b＝0，即m＋2＝0，∴m＝－2.8．已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为__90°

75、__.解析由＝(＋)，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以与的夹角为90°.9．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是__[－5，1]__.解析设P(x，y)，则·＝(－12－x，－y)·(－x,6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20，又x2＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0，所以点P在直线2x－y＋5＝0的上方(包括直线上)，又点P在圆x2＋y2＝50上，由解得x＝－5或x＝1，结合图象(图略)，可得－5≤x≤1，故点P的横坐标的

76、取值范围是[－5，1]．三、解答题10．已知

77、a

78、＝4，

79、b

80、＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算：①

81、a＋b

82、，②

83、4a－2b

84、；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．解析由已知得，a·b＝4×8×＝－16.(1)①∵

85、a＋b

86、2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴

87、a＋b

88、＝4.②∵

89、4a－2b

90、2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴

91、4a－2b

92、＝16.(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即

93、16k－16(2k－1)－2×64＝0.∴k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．11．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝－.(1)求sinA的值；(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．解析(1)由m·n＝－，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，所以cosA＝－.因为0b，所以A>B，则B＝.由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2

94、×5c×，解得c＝1，故向量在方向上的投影为

95、

96、cosB＝ccosB＝1×＝.1