2019版高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入课时达标26平面向量的数量积与平面向量应用举例

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1、第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例[解密考纲]本考点重点考查平面向量的数量积及其几何意义，往往借助于数量积求模长、夹角、面积等，多以选择题、填空题的形式考查，题目难度中等偏难．一、选择题1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是(　D　)A．x＝－　　B．x＝－1C．x＝5　　D．x＝0解析由向量垂直的充要条件，得2(x－1)＋2＝0.解得x＝0.2．已知非零向量a，b，

2、a

3、＝

4、b

5、＝

6、a－b

7、，则cos〈a，a＋b〉＝(　C　)A．　　B．－C．　　D．－解析设

8、a

9、＝

10、b

11、＝

12、a－b

13、＝1，则(a－

14、b)2＝a2－2a·b＋b2＝1，∴a·b＝，∴a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋＝.∵

15、a＋b

16、＝＝＝，∴cos〈a，a＋b〉＝＝.3．已知向量

17、

18、＝2，

19、

20、＝4，·＝4，则以，为邻边的平行四边形的面积为(　A　)A．4　　B．2C．4　　D．2解析因为cos∠AOB＝＝＝，所以∠AOB＝60°，sin∠AOB＝.所以所求的平行四边形的面积为

21、

22、·

23、

24、·sin∠AOB＝4，故选A．4．(2018·山西四校二联)已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且

25、a

26、＝2，

27、b

28、＝1，则向量a与b夹角的正弦值为(　D　)A．－　　B．－C．　　

29、D．解析∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，∴sin〈a，b〉＝＝，故选D．5．(2018·甘肃兰州模拟)若△ABC的三个内角A，B，C度数成等差数列，且(＋)·＝0，则△ABC一定是(　C　)A．等腰直角三角形B．非等腰直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形解析因为(＋)·＝0，所以(＋)·(－)＝0，所以2－2＝0，即

30、

31、＝

32、

33、，又A，B，C度数成等差数列，故2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，所以2B＝π－B，所以3B＝π，B＝，故

34、△ABC是等边三角形．6．(2018·福建厦门模拟)在△ABC中，∠A＝120°，·＝－1，则

35、

36、的最小值是(　C　)A．　　B．2C．　　D．6解析由·＝

37、

38、

39、

40、cos120°＝－

41、

42、

43、

44、＝－1，得

45、

46、

47、

48、＝2，

49、

50、2＝

51、－

52、2＝2＋2－2AB·＝2＋2＋2≥2

53、

54、

55、

56、＋2＝6，当且仅当

57、

58、＝

59、

60、时等号成立．所以

61、

62、≥，故选C．二、填空题7．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且

63、a＋b

64、2＝

65、a

66、2＋

67、b

68、2，则m＝__－2__.解析由

69、a＋b

70、2＝

71、a

72、2＋

73、b

74、2得a·b＝0，即m＋2＝0，∴m＝－2.8．

75、已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为__90°__.解析由＝(＋)，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以与的夹角为90°.9．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是__[－5，1]__.解析设P(x，y)，则·＝(－12－x，－y)·(－x,6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20，又x2＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0，所以点P在直线2x－y＋5＝0的上方(包括直线上)，又点P在圆x2＋y2＝50

76、上，由解得x＝－5或x＝1，结合图象(图略)，可得－5≤x≤1，故点P的横坐标的取值范围是[－5，1]．三、解答题10．已知

77、a

78、＝4，

79、b

80、＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算：①

81、a＋b

82、，②

83、4a－2b

84、；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．解析由已知得，a·b＝4×8×＝－16.(1)①∵

85、a＋b

86、2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴

87、a＋b

88、＝4.②∵

89、4a－2b

90、2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴

91、4a－2b

92、＝16.(2)∵(a＋2b

93、)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0.∴k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．11．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝－.(1)求sinA的值；(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．解析(1)由m·n＝－，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，所以cosA＝－.因为0

94、A＝＝，(2)由正弦定理，得sinB＝＝＝，因为a>b，所以A>B，则B＝.由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1，故向量在方向上的投影为

95、

96、cosB＝ccosB＝1×＝.1