2019版高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例学案

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1、第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例考纲要求考情分析命题趋势1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.2016·全国卷Ⅰ,132016·全国卷Ⅲ,32016·北京卷,42016·天津卷,72016·山东卷,81.平面向量的数量积是高考的热点,主要考

2、查平面向量数量积的运算、几何意义、两向量的模与夹角以及垂直问题.2.数量积的综合应用是高考的重点,常与函数、三角函数、不等式、解析几何等内容结合考查.分值:5分1.平面向量的数量积若两个__非零__向量a与b,它们的夹角为θ,则__

3、a

4、

5、b

6、cosθ__叫做a与b的数量积(或内积),记作__a·b=

7、a

8、

9、b

10、cosθ__.规定:零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a与b垂直的充要条件是__a·b=0__,两个非零向量a与b平行的充要条件是__a·b=±

11、a

12、

13、b

14、__.2.平面向量数量积的几何意义数量积

15、a·b等于a的长度

16、a

17、与b在a方向上的投影__

18、b

19、cosθ__的乘积.3.平面向量数量积的重要性质(1)e·a=a·e=__

20、a

21、cos〈a,e〉__;(2)非零向量a,b,a⊥b⇔__a·b=0__;(3)当a与b同向时,a·b=__

22、a

23、

24、b

25、__;当a与b反向时,a·b=__-

26、a

27、

28、b

29、__,a·a=__a2__,

30、a

31、=____;(4)cosθ=____;(5)

32、a·b

33、__≤__

34、a

35、

36、b

37、.4.平面向量数量积满足的运算律(1)a·b=__b·a__(交换律);(2)(λa)·b=λ(a·b)=__a·(

38、λb)__(λ为实数);(3)(a+b)·c=__a·c+b·c__.5.平面向量数量积性质的坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=__x1x2+y1y2__;由此得到:(1)若a=(x,y),则

39、a

40、2=__x2+y2__,或

41、a

42、=____;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离

43、AB

44、=

45、

46、=____;(3)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔__x1x2+y1y2=0__.6.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;

47、(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(3)(a-b)2=__a2-2a·b+b2__.1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,且有正有负,也可为零.( √ )(2)若a∥b,则必有a·b≠0.( × )(3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( × )(4)若a·b<0,则向量a,b的夹角为钝角.( × )解析(1)正确.由向量投影的定义可知,当两向量夹角为锐角时结果为正,为钝角时结果为负,为直角时结果为零.(2)错误.当a与b至少有

48、一个为0时a∥b,但a·b=0.(3)正确.由数量积与向量线性运算的意义可知,正确.(4)错误.当a·b=-

49、a

50、

51、b

52、时,a与b的夹角为π.2.下列四个命题中真命题的个数为( C )①若a·b=0,则a⊥b;②若a·b=b·c,且b≠0,则a=c;③(a·b)·c=a·(b·c);④(a·b)2=a2·b2.A.4  B.2  C.0  D.3解析a·b=0时,a⊥b,或a=0,或b=0.故①命题错.∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0.又∵b≠0,∴a=c,或b⊥(a-c).故②命题错误.∵a·b与b·c都是实数,

53、故(a·b)·c是与c共线的向量,a·(b·c)是与a共线的向量,∴(a·b)·c不一定与a·(b·c)相等.故③命题不正确.∵(a·b)2=(

54、a

55、

56、b

57、cosθ)2=

58、a

59、2

60、b

61、2cos2θ≤

62、a

63、2·

64、b

65、2=a2·b2.故④命题不正确.3.在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=,则·=( D )A.-  B.-  C.  D.解析在△ABC中,cos∠BAC===,∴·=

66、

67、

68、

69、cos∠BAC=3×2×=.4.已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),λa+b与a垂直,则λ=( A )A.-1  B.1

70、  C.-2  D.2解析λa+b=(λ+4,-3λ-2).∵λa+b与a垂直,∴(λa+b)·a=10λ+10=0,∴λ=-1.5.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为( C )A.  B.  C.  D.解析

71、a

72、cosθ====.一 平面向量的数量积运算求两个向量的数量积有三种方法:利用定义

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