弹性力学-07（土木）.ppt

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1、第七章空间问题的基本理论要点：（1）空间问题的基本方程——平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件等。（2）空间应力状态与应变状态分析（3）轴对称的基本方程§7-1平衡微分方程主要内容§7-2物体内任一点的应力状态§7-3主应力最大与最小的应力§7-4几何方程及物理方程§7-5轴对称问题的基本方程§7-1平衡微分方程xyzOPABC在点P附近取一微元体，如图所示，P点的应力为：体力分量为：由微元体的平衡条件建立平衡微分方程。xyzOPABC将上式同除以dxdydz，化简得：同理，由：得到x、y方向的平衡微分方程。xyzOPABC另外由三个方向轴的力矩平衡：——剪应力互等定理可得到：最后，

2、得到微元体的平衡微分方程为：空间问题的平衡微分方程为：（7-1）§7-2物体内任一点的应力状态目的：（1）建立空间的边界面力与内部应力间关系，即边界条件；（3）分析一点的主应力与主方向；（2）分析过一点任意斜截面上的应力；xyzOPABCNXNYNZN1.任意斜截面上的应力对P点取如图所示的四面体（微元体）平面PBC、PAC、PAB分别与x、y、z坐标平面平行，斜截面ABC的外法线方向为N，其方向余弦分别为：P点的应力：斜截面的应力在坐标方向的分量：xyzOPABCNXNYNZNP点的应力：斜截面的应力在坐标方向的分量：外法线N的方向余弦：设斜截面ABC的面积为S，四面体的体积为V，则

3、：PBC的面积为lS;PAC的面积为mS;PAB的面积为nS。由微元体的平衡，得等式两边同除以S，有因为为高阶无穷小，可略去。得xyzOPABCNXNYNZN（7-2）——任意斜截面应力在坐标方向的分量斜截面的正应力N：（7-3）斜截面上的剪应力N：因为斜面上全应力SN：（7-4）结论：则可确定过该点任意斜截面上的正应力N和剪应力N，或斜截面上的应力在坐标方向的分量XN、YN、ZN。在物体内任一点，如果已知其六个应力分量：表明：六个应力分量完全确定了一点的应力状态。xyzOPABCNXNYNZN2.空间问题的应力边界条件（7-2）——任意斜截面应力在坐标方向的分量代入式（8

4、-2），有：（7-5）若斜面ABC为物体的边界面，则XN、YN、ZN成为边界面力分量：xyzOPABCNXNYNZN——一般空间问题的边界条件§7-3主应力与应力主向1.主应力定义：当P点的某一斜面上的剪应力为零时，则该斜面上正应力称为P点的一个主应力。该斜面称为P点的一个应力主面（主平面）。主平面法线方向称为P点一个应力主向，或称主方向。由定义，在主应力面上，有则该面上全应力：将SN=向三个坐标轴投影，有将上式代入式（7-2），有（a）同时，有（b）将式（a）改写为将l、m、n作为变量，∵它们不全为零，有（c）（7-2）——任意斜截面应力在坐标方向的分量考虑到：将上述行列式展开，有（

5、7-6）求解式（7-6）关于的三次方程，可得三个实根1、2、3即为P点的三个主应力。2.主方向设主应力1所在平面（主平面）法线的方向余弦为：l1、m1、n1，将其式（c），有（c）上述方程中仅两个独立的，将式中前两个方程同除以l1，得由此可求得：上述方程中仅两个独立的，将式中前两个方程同除以l1，得并将其代入式（b）（b）可求得：同理，可求出：l2、m2、n2，l3、m3、n3。根据材料力学，可以证明，三个主应力方向互相垂直。也就是说在受力物体内的任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主面以及对应的三个主应力。若三个主应力相等，则所有截面上的正应力都相同，均为主应力，切应力都等于零

6、。可以证明，三个主应力中最大的一个就是该点的最大正应力，而三个主应力中最小的一个就是该点的最小正应力。最大最小剪应力在数值上等于最大和最小主应力差的一半，作用在通过中间主应力2且“平分最大主应力与最小主应力夹角的平面上”。3.应力不变量设三个主应力1、2、3已求得，取这三个123主应力单元体主应力方向分别为x、y、z三坐标方向,则有xyz展开后，得与式（7-6）比较（7-7）因为，在一定的应力状态下，物体内任一点的主应力不会随坐标的改变而变化，所以，方程（8-7）左边的三个表达式也不随坐标系的改变而改变，于是有三个应力不变量：与式（8-6）比较有：（7-6）§7-4几何方程及

7、物理方程1.几何方程xyzOdxdydzP设任一点P的位移为：u、v、w，考察P点邻近线段dx、dy、dz的伸缩变形及夹角的改变。类似于平面情形的分析推导，有（7-9）在物体给定约束位移的边界上，位移分量还应当满足下列边界条件。（7-8）2.体积应变设有一微小正平行六面体，棱长：x、y、z，xyzxzy变形前体积：变形后的边长和体积分别为：体积应变（相对体积改变）：考虑到小变形，略去二阶以上高阶小量，有：（7