资源描述：
《2016年北京大学数学学科夏令营初赛试题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2016年北京大学数学学科夏令营初赛试题本试卷共4题，每题30分，满分120分，考试时间180分钟．1、已知锐角△ABC中，∠B=600，P为AB中点，Q为外接圆上弧AC(不包含点B)的中点，H为△ABC的垂心．如果P,H,Q三点共线，求∠A．2、求所有的整系数多项式P(x)，使得存在一个无穷项整数数列{an}，其中任意两项互不相等，且满足：P(a1)=0，P(ak+1)=ak(k=1,2,⋯)．3、给定正整数n，有2n张纸牌叠成一堆，从上到下依次编号为1到2n．我们进行这样的操作：每次将所有从上往下数偶数位置的
2、牌抽出来，保持顺序放在牌堆下方．例如n=3时，初始顺序为123456，操作后依次得到135246，154326，142536，123456．证明：对任意正整数n，操作不超过2n−2次后，这堆牌的顺序会变回初始状态．4、给定正整数p,q，数列{an}满足：a1=a2=1，an+2=pan+1+qan(n=1,2,3⋯)．求证：要使得对任意正整数m,n，均有(am,an)=a(m,n)，当且仅当p=1时成立．2016年北京大学数学学科夏令营初赛试题参考答案1、答案 750．解 如图，设O为外接圆圆心，延长CO交外接圆
3、于D，则四边形BHAD为平行四边形，因此D,P,H三点共线，进而D,P,H,Q四点共线．连接OH,BQ，由∠B=600，于是BH=AD=CD/2=OQ,又OB=OQ，因此BHQO为菱形，从而∠OBC=∠OCB=∠BAD=∠HBA,又∠BCD=∠BQD=∠OBQ=∠HBQ,因此BO,BQ,BH将∠CBA四等分，进而不难得知∠A=750．2、答案 P(x)=x+C，其中C∈Z．解 设P(x)=λ0+λ1x+⋯+λmxm,其中m∈N∗，λi∈Z(i=0,1,2,⋯,m)，则P(ak+1)−P(ak+2)=ak−ak+1
4、,k=1,2,⋯,而P(ak+1)−P(ak+2)=λ1(ak+1−ak+2)+λ2(a2k+1−a2k+2)+⋯+λm(amk+1−amk+2),因此(ak+1−ak+2)∣(ak−ak+1),k=1,2,⋯,因此∣a1−a2∣⩾∣a2−a3∣⩾∣⋯⋯⩾
5、ak−ak+1
6、⩾
7、ak+1−ak+2
8、⩾⋯.由于∣a1−a2∣的值有限，因此必然存在K，使得当k⩾K且k∈Z时，有∣ak−ak+1∣=∣ak+1−ak+2∣=∣ak+2−ak+3∣=⋯.由于数列{an}中任意两项互不相等，因此有ak−ak+1=ak+1−ak
9、+2=ak+2−ak+3=⋯,因此有P(ak+1)−ak+1=P(ak+2)−ak+2=⋯.若m⩾2，则方程P(x)−x=P(aK+1)−aK+1有无数个解，矛盾．这样得到了所有符合题意的整系数多项式P(x)=x+C，其中常数C∈Z3、证明 我们证明一个等价的命题，将每次操作改为先从上往下取后一半的数出来，然后与前一半交叉放置(类似于洗扑克牌)，如初始顺序为123456，操作后依次得到142536，154326，135246，123456．将纸牌按顺时针摆放，使得第一张牌和最后一张牌(它们始终为1和2n)重合，将
10、第一张牌的位置记为1，顺时针旋转将其他牌的位置依次记为2,3,⋯,2n-1．定义纸牌m顺时针旋转到纸牌n时旋转的步数为纸牌m到n的距离，记为d(m→n)，如图中d(2→3)=3．下面证明经过k次操作(k∈N∗)后d(1→2)=d(2→3)=⋯=d(2n−1→2n),用数学归纳法．归纳基础 当k=1时，有d(1→2)=d(2→3)=⋯=d(2n−1→2n)=1,命题成立．归纳假设与递推证明 设当k=p时，有d(1→2)=d(2→3)=⋯=d(2n−1→2n)=q.不难计算得经过操作后位置x的纸牌将会移动到位置f(x
11、)=(2x−1)%(2n−1),其中t%s表示t模s的余数，因此原来距离为q的纸牌在操作后距离为(2q)%(2n−1)．因此经过p+1次操作后，仍然有d(1→2)=d(2→3)=⋯=d(2n−1→2n).综上所述，经过k次操作(k∈N∗)后d(1→2)=d(2→3)=⋯=d(2n−1→2n).这就意味着当纸牌2的位置确定时，其他所有纸牌的位置都可以依靠该性质确定．而纸牌2至多只有2n−2种可能的位置，并且纸牌2的所在的位置不可能出现不包含位置2的循环．这是因为操作是可以反向的，因此如果出现不包含位置22的循环，那
12、么可以断定最初的状态纸牌2所在的位置不可能为2．因此经过不超过2n−2次操作后，纸牌2必然回到位置2，原命题得证．4、证明 必要性根据题意，有而由(a3,a4)=a1，可得(p,q)=1；又由(a3,a6)=a3，可得p+q∣p2q+q2,即p+q∣pq(p−1)+q(p+q),因此p=1．充分性 当p=1时，an+2=an+1+qan，于是（an+2,q)=(an+1+
