2018北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题

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1、1.已知b、c为整数，且对任意正整数税、n,存在整数x满足如下关系：cue+/zr+(?=m(modn).求所有满足要求的三元整数组(a,b,c・).2.已知实数a},a2,，如

2、8两两不同，存在f满足q.+」一=f(/=1,2,,2018，并规定G+i02019=4)•求实数/的可能取值的个数.3.给定正整数〃、有一个密码锁，它有〃个按钮，编号分别为1〃.打开该锁的密码是长度为R的按钮序列.当且仅当连续正确的按动这k个按钮时，密码锁会被打开.(例如〃=3,k=2f密码为13时，依次按动1,2,

3、3,2,1,1,3后可以打开该锁，按动2,2,3,1,3后也可以打开该锁.)要保证把这个密码锁打开，至少需要按动多少次按钮？4.如图，AABC屮A3HAC.点人所对应的旁切圆圆丿分别与直线BC、CA.AB相切于点D、E、F.点M是线段BC的中点.点S在线段丿M上，且满足AS+DS=AE.求证：MS(BDCD~sT~~jd-试卷答案本试卷共4题1.设/(x)=o¥2+Z?x+c»注意于(兀)三/(x+n)(modA7),故本题只需对任意正整数九,/(())，/(1)，，/(〃一1)组成模农的完全剩

4、余系.下证a=0,b=-1或1.若a+/?HO,±l,取n=a+b,则f(0)=/(l)(modn),矛盾.若g+Z?=0,则/(x)=ox2-ox+c,此时/(0)=/(1),这也不可能.故a+b=-l或1.当a+b=1时，qhO,则

5、16^+4/?

6、>12a-4tz+/?

7、>12-4=8.取/7=

8、16d+4b

9、,则f(0)=f(4)(modn),矛盾.故a=0.类彳以当a+b=-1时，取刃=

10、16d+%

11、,可得a=0.故(询=(0,1)或(0,-1).注意对任意正整数加、n,同余方程兀+c

12、三加(mochz)和一兀+c三加(modn)显然有解.故(q,/?,c)=(O,1,£)或(0,-1,町，keZ.2.由已知有4启=丄，不动点方程为兀二丄，化为〒-饥+1=0,设此一元二次方程的t—ciit—X两根为Q与0・若t=2,则匕+i11^2019''2018,矛盾.G]—1若z=-2,同理可得°2()19+2018，也矛盾.ax+1所以at(3,可得ai+x-a=a—―,以及aj+i-[3=/?•———t—t—Clj两式相除得4+1-ol_aa{-aG+1一0卩04+1_a4+1一01

13、0丿4—0=a21ax-aQ-0从而血二£=&4036.生兰，q4036=],。2019-0Q_0托ki兀(4036k)i由对称性，不妨设a=0硕，fi=e20,8,其中1S£<2O18.Cl;—OCCL—Ct另一方面，当15i

14、TT=1008个,所以1+0=2遇硕有1008所以这样的£有2018彳1—丄］彳1一I2丿I个取值.2.最少需要按涉+£—1次.不同的密码共有涉个，要保证打开密码锁，必须全部试过一遍.从第k次按键开始，每次按动按钮都可以视为一个长为R的序列末位，故至少需要卅+R-1次.下面给岀按动nk+k-1次可以满足要求的存在性证明.当k=l时结论显然成立，故下设k>2.构造图G,共有卅"个顶点，每个顶点对应为一个长为£-1的序列.对顶点A,B,若点A所对应序列的后k-2位与点B所对应序列的前k-2位相同，则

15、在AB之间连一条由A指向B的有向边.此时每一个长为k的序列可以对应为该图中的一条边.注意图G为连通图，且每个顶点的入度和出度均为〃，我们即证明该图中存在欧拉圈.为此给出如下引理：若有向连通图G中所有顶点的入度和出度都相同，则该图中存在欧拉圈.对图G的总边数进行归纳证明，若图G每个顶点出入度为1,且该图屮存在圈，再由连通性可得该圈为欧拉圈.若总边数小于m时结论成立，考虑总边数等于m时.考虑图中的最大有向圈「，显然这样的圈存在•若厂不是欧拉圈，则从图G屮去掉「，得到图G'.此时图G'每点的出入度仍相

16、同（但可以为0）.取G'中的一条边，使其一个顶点在「屮，沿该边前进，可以得到图G'中的圈厂.注意「和没有公共边，故可将它们拼接得到一个更大的圈.这与「的最大性矛盾，故此时结论成立.综上，引理得证.由引理，我们即可得到本题存在性证明.4.如图，作ZBDS的平分线交旳于P,以P为圆心、点P到直线BC的距离为半径作P,则P与直线AB、BD、DS均相切.过A作P的异于直线AB的切线，交直线DS于S',则P与四边形ABDSf的各边所在直线均相切，由“切线长相等”可得AB+BD=ASADS',又已知AS+D