量子力学概论 教学课件 作者 David J.Griffths 美 贾瑜 胡行 李玉晓译 第3章　形式理论　.ppt

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1、第3章　形式理论3.1希尔伯特空间3.2可观测量3.3厄密算符的本征函数3.4广义统计诠释3.5不确定原理3.6狄拉克符号3.1希尔伯特空间所有在特定区域2的平方可积函数的集合，f(x)满足　∫baf(x)2dx<∞(3.4)构成一个(非常小)的矢量空间(参看习题3.1(a))。数学家称之为L2(a,b)；而物理学家称它为“希尔伯特(Hilbert)空间”3。因此，在量子力学中，波函数存在于希尔伯特空间中.(3.5)3.2　可观测量3.2.1　厄密算符3.2.2　确定值态表示可观测量的算符有非常特殊的性质〈fQf〉=〈Qff〉对任何f(x)成立.(3.16)我们称这样的算符为厄密算符。3.

2、2.1厄密算符3.2.2确定值态确定值态是Q的本征函数.(3.23)3.3　厄密算符的本征函数3.3.1　分立谱3.3.2　连续谱3.3.1　分立谱定理1：它们的本征值是实数。定理2：属于不同本征值的本征函数是正交的。例题3.2求动量算符的本征值与本征函数。解：设fp(x)是本征函数，p是本征值：ћiddxfp(x)=pfp(x).(3.30)一般解是fp(x)=Aeipx/h.对于任何(复数的)p值，它都不是平方可积的——动量算符在希尔伯特空间内没有本征函数。然而，如果我们限定于实数本征值，我们的确可以得到一个人为的“正交归一性”。参看习题2.24(a)和2.26，∫+∞-∞f*p′(x

3、)fp(x)dx=A2∫+∞-∞ei(p-p′)x/ћdx=A22πћδ(p-p′).(3.31)如果我们取A=1/2πћ，有fp(x)=12πћeipx/ћ,(3.32)那么〈fp′fp〉=δ(p-p′)，(3.33)这明显地使人联想到真正的正交归一性(式3.10)——现在的指标是一个连续的变量，并且克罗内克δ符号变为狄拉克δ符号，但是其他方面看起来是相同的。我们将把式3.33称为狄拉克正交归一性。最重要的是其本征函数是完备的，不过是用一个积分代替了(式3.11中的)求和：任何(平方可积的)函数f(x)都可以写成下列形式f(x)=∫+∞-∞c(p)fp(x)dp=12πћ∫+∞-∞c(p

4、)eipx/ћdp.(3.34)仍然可以利用傅里叶变换得到展开系数(现在是一个函数，c(p))：〈fp′f〉=∫+∞-∞c(p)〈fp′fp〉dp=∫+∞-∞c(p)δ(p-p′)dp=c(p′).(3.35)另外，你也可以由普朗克尔定理(式2.102)得到，这种展开(式3.34)不是别的，正是傅里叶变换。例题3.3求坐标算符的本征函数与本征值。解：设本征函数为gy(x)，本征值为y：xgy(x)=ygy(x).(3.37)这里(对应于任何一个给定的本征函数)y是一个定值，但是x是一个连续的变量。什么样的x使函数具有如下的性质：用常数y乘以函数与用x乘以函数的结果相同？明显地，除在x=y点

5、之外，只能是零；实际上不是别的，就是狄拉克δ函数：gy(x)=Aδ(x-y).这次本征值必须是实数；本征函数不是平方可积的，但是它们也具有狄拉克正交归一性：∫+∞-∞g*y′(x)gy(x)dx=A2∫+∞-∞δ(x-y′)δ(x-y)dx=A2δ(y-y′).(3.38)如果我们取A=1，就有gy(x)=δ(x-y),(3.39)这样〈gy′gy〉=δ(y-y′).(3.40)这些本征函数也是完备的：f(x)=∫+∞-∞c(y)gy(x)dy=∫+∞-∞c(y)δ(x-y)dy,(3.41)有c(y)=f(y)(3.42)(对本题，如果你坚持，你也可以从傅里叶技巧得到它)。3.4广义统计

6、诠释例题3.4一个质量为m的粒子处在δ函数势阱V(x)=-αδ(x)中。对其动量进行测量，得到结果比p0=mα/ћ大的概率是多少？解：在坐标空间的中的波函数是(式2.129)Ψ(x,t)=mαћe-mαx/ћ2e-iEt/ћ式中，E=-mα2/2ћ2。因此，动量空间波函数是Φ(p,t)=12πћmαћe-iEt/ћ∫+∞-∞e-ipx/ћe-mαx/ћ2dx=2πp3/20e-iEt/ћp2+p20(查阅积分表求积分)。所以，要求的概率的大小为2πp30∫∞p01(p2+p20)2dp=1πpp0p2+p20+arctanpp0∞p0=14-12π=0.0908(再次查阅积分表求积分)3.

7、5　不确定原理3.5.1　不确定原理的一般性证明3.5.2　最小不确定波包3.5.3　能量-时间不确定原理3.5.1　不确定原理的一般性证明σ2Aσ2B≥12i〈［A,B］〉2.(3.62)这就是(普遍的)不确定原理。3.5.2　最小不确定波包Ψ(x)=Ae-a(x-〈x〉)2/2ћei〈p〉x/ћ.(3.68)3.5.3　能量-时间不确定原理图3.1　一个自由粒子的波包趋近A点(例题3.6)图3.2　Δ粒子质量的测量图