资源描述：
《量子力学概论 教学课件 作者 David J.Griffths 美 贾瑜 胡行 李玉晓译 第2章 定态薛定谔方程 .ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2章 定态薛定谔方程2.1 定态2.2 一维无限深方势阱2.3 谐振子2.4 自由粒子2.5 δ函数势2.6 有限深方势阱2.1 定态1.它们是定态(stationarystates)。２.它们是具有确定总能量的态。3.一般解是分离变量解的线性组合。-ћ22md2ψdx2+Vψ=Eψ.(2.5)(式２.５)称为定态(time-independent)薛定谔方程；如果不指定V(x)我们将无法继续求它的解。Ψ(x，t)=∑∞n=1cnψn(x)e-iEnt/ћ=∑∞n=1cnΨn(x，t).(2.17)尽管分
2、离解自身是定态解，Ψn(x,t)=ψn(x)e-iEnt/ћ,(2.18)即，概率和期望值都不依赖时间，但是需要强调的是，一般解(式2.17)并不具备这个性质；因为不同的定态具有不同的能量，在计算Ψ2的时候，含时指数因子不能相互抵消例题2.1假设一个粒子的初始态是两个定态的线性组合：Ψ(x,0)=c1ψ1(x)+c2ψ2(x).(为使题目简单化，假设常数cn和态ψn(x)是实数。)那么任意时刻的波函数Ψ(x,t)是什么？求出概率密度并描述其运动形式。解：第一问很简单：Ψ(x,t)=c1ψ1(x)e-iE1t
3、/ћ+c2ψ2(x)e-iE2t/ћ，这里的E1,E2是ψ1,ψ2相应的能量，由此Ψ(x,t)2=(c1ψ1eiE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)(c1ψ1e-iE1t/ћ+c2ψ2e-iE2/ћ)=c21ψ21+c22ψ22+2c1c2ψ1ψ2cos［(E2-E1)t/ћ］.(这里用了欧拉公式expiθ=cosθ+isinθ来化简。)很显然，概率密度以正弦形式振动，角频率是(E2-E1)t/ћ；这当然不是一个定态。但是注意它是(具有不同能量的)定态的线性组合，并且这种组合会产生运动图2.1一维无限深方势阱
4、(式2.19)2.2一维无限深方势阱图2.2 一维无限深方势阱的前三个定态(式2.28)在x=a处的边界条件没有确定常数A，却确定了常数k；能量E的可能值是：En=ћ2k2n2m=n2π2ћ22ma2.(2.27)A=2/a(A的相位没任何物理意义)。这样，势阱内的解是ψn(x)=2asinnπax.(2.28)ψ1具有最低的能量，称为基态，其他态的能量正比于n2增加，称为激发态。总结一下函数ψn(x)的重要和有趣的性质：1.它们相对于势阱的中心是奇偶交替的：ψ1是偶函数，ψ2是奇函数，ψ3是偶函数，依次类
5、推9。2.随着能量的增加，态的节点(与x轴交点)数逐次增1；ψ1没有(端点不计)，ψ2有1个，ψ3有2个，依次类推。3.它们是相互正交的，也就是说当m≠n时，∫ψm(x)*ψn(x)dx=0.(2.29)4.它们是完备的，也就是说任意一个函数f(x)，都可以用它们的线性组合来表示：f(x)=∑∞n=1cnψn(x)=2a∑∞n=1cnsinnπax.(2.32)例题2.2在一维无限深方势阱中运动的粒子，其初始波函数是Ψ(x,0)=Ax(a-x),(0≤x≤a),A是常数(如图2.3)。设在势阱外Ψ=0。求Ψ
6、(x,t)。解：首先需要归一化波函数Ψ(x,0)求出A1=∫a0Ψ(x,0)2dx=A2∫a0x2(a-x)2dx=A2a530，所以A=30a5.第n项的系数(式2.37)是cn=2a∫a0sinnπax30a5x(a-x)dx=215a3a∫a0xsinnπaxdx-∫a0x2sinnπaxdx=215a3aanπ2sinnπax-axnπcosnπaxa0-2anπ2xsinnπax-(nπx/a)2-2(nπ/a)3cosnπaxa0=215a3-a3nπcos(nπ)+a3(nπ)2-2(nπ)3
7、cos(nπ)+a32(nπ)3cos(0)=415(nπ)3cos(0)-cos(nπ)=0，如果n为偶数,815/(nπ)3，如果n为奇数.这样(式2.36)为Ψ(x,t)=30a2π3∑n=1,3,5,…1n3sinnπaxe-in2π2ћt/2ma2.图2.3 例题2.2中的初始波函数所有这些概率的之和一定为1，∑∞n=1cn2=1.(2.38)能量的期望值一定是〈H〉=∑∞n=1cn2En.(2.39)例题2.3在例题2.2中的初始波函数(图2.3)与基态ψ1(图2.2)很相似，这意味着c12将是
8、主要的，事实上c12=815π32=0.998555….其余的系数之和为与1的差额∑∞n=1cn2=815π32∑∞n=1,3,5,…1n6=1.在本题中能量的期待值是〈H=∑∞n=1,3,5,…815n3π32n2π2ћ22ma2=480ћ2π4ma2∑∞n=1,3,5,…1n4=5ћ2ma2.可以预期这很接近于E1=π2ћ2/2ma2——比它稍微大一点，这是由于与激发态的混合造成的。2.3 谐振子2.3.1
