量子力学概论 教学课件 作者 David J.Griffths 美 贾瑜 胡行 李玉晓译 第4章　三维空间中的量子力学.ppt

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1、第4章　三维空间中的量子力学4.1　球坐标系中的薛定谔方程4.2　氢原子4.3　角动量4.4　自旋4.1　球坐标系中的薛定谔方程4.1.1　分离变量法4.1.2　角动量方程4.1.3　径向方程4.1.1　分离变量法图4.1　球坐标：半径r，极角θ，方位角ϕ。在球坐标系下拉普拉斯算符的形式为：Δ2=1r2∂∂rr2∂∂r+1r21sinθ∂∂θsinθ∂∂θ+1r21sin2θ∂2∂ϕ2.(4.13)在球坐标系下。定态薛定谔方程可写为：ћ22m1r2∂∂rr2∂ψ∂r+1r21sinθ∂∂θsinθ∂ψ

2、∂θ+1r21sin2θ∂2ψ∂ϕ2+Vψ=Eψ.(4.14)ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ,ϕ).(4.15)把上式代入式4.14，我们得到：-ћ22mYr2ddrr2dRdr+Rr2sinθ∂∂θsinθ∂Y∂θ+Rr2sinθ2∂2Y∂ϕ2+VRY=ERY.两边同时除以RY并乘以-2mr2/ћ2：1Rddrr2dRdr-2mr2ћ2Vr-E+1Y1sinθ∂∂θsinθ∂Y∂θ+1sin2θ∂2Y∂ϕ2=0.上式第一个花括号里的项仅与r有关，而其他的仅与θ和ϕ有关；所以，每项必须为一个常数。以

3、后我们将讨论到，3我将把这个分离常数写做l(l+1)：1Rddrr2dRdr-2mr2ћ2Vr-E=l(l+1);(4.16)1Y1sinθ∂∂θsinθ∂Y∂θ+1sin2θ∂2Y∂ϕ2=-l(l+1).(4.17)4.1.2　角动量方程B4-1.TIFYml(θ,ϕ)=ε(2l-1)(l-m)！4π(l+m)！eimϕPml(cosθ)，(4.32)表4.3　前几个球谐函数,(cos θ)表4.4　前几个球贝塞尔和球诺依曼函数,(x)和(x)；x很小时的渐进形式。图4.2　前4个球贝塞尔函数

4、图4.2　氢原子4.2.1　径向波函数4.2.2　氢原子光谱图4.3　氢原子4.2.1径向波函数E=-m2ћ2e24πε021n2=E1n2,n=1,2,3,…(4.70)这就是著名的玻尔公式。a=4πε0ћ2me2=0.529×10-10m(4.72)是所谓的玻尔半径。态(即能量最低的态)是n=1的态；把物理常数代入，我们有：E1=-m2ћ2e24πε02=-13.6eV.(4.77)显然氢原子的结合能(也就是电离基态电子所需要的能量)为13.6eV。氢原子基态为ψ100(r,θ,ϕ)=1πa3e-

5、r/a.(4.80)归一化氢原子波函数是ψnlm=2na3(n-l-1)!2n［(n+l)!］3e-r/na2rnal［L2l+1n-l-1(2r/na)］Yml(θ,ϕ).(4.89)图4.4　前几个径向波函数(r)的图像表4.5　前几个拉盖尔多项式，(x)表4.6　一些关联拉盖尔多项式，(x)表4.7　氢原子前几个径向波函数，(r)4.2.2　氢原子光谱图4.7　氢原子的能级和跃迁光谱4.3　角动量4.3.1　本征值4.3.2　本征函数4.3.1　本征值图4.8　角动量的梯形态图4.9　角

6、动量态(l=2)4.3.2　本征函数Lz=ћi∂∂ϕ.(4.129)L2=-ћ21sinθ∂∂θsinθ∂∂θ+1sin2θ∂2∂ϕ2.(4.132)4.4　自旋4.4.1　自旋1/24.4.2　磁场中的电子4.4.3　角动量的叠加4.4.1　自旋1/2σx≡0110，σy≡0-ii0，σz≡100-1.(4.148)这就是著名的泡利自旋矩阵。4.4.2　磁场中的电子图4.10　在均匀磁场中的进动图4.11　施特恩-格拉赫实验装置示意图4.4.3　角动量的叠加4-12.TIFs=1的三个态为(用sm

7、〉表示)：11〉=↑↑10〉=12(↑↓+↓↑)1-1〉=↓↓s=1(三重态).(4.177)这称为三重态。00〉=12(↑↓-↓↑)s=0(单态).(4.178)