线性代数研究型、综合型、应用型题目.doc

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1、《线性代数与空间解析几何》研究型、应用型、综合型题目1.一般的数字可看作零维数组，向量可看作一维数组，矩阵可看作二维数组，那么三维数组能作为一个代数概念来看待吗？其相应运算如何定义？变换如何执行？有何应用？提示：可参照矩阵的运算作相应的定义。2.类似于行列式的定义我们定义新的代数概念如下：一阶：二阶：三阶：………………………………类似地可对n阶的情况给出定义。请问这一个新的代数概念，其性质如何？有何应用？提示：可类比行列式的性质作相应的讨论。3.设方阵定义其中为元素在矩阵A中的余子式，试问有什么性质？提示：可类比伴随矩阵作出讨论。4.任意给定一个2阶实矩阵,能否找出所有与A可交换相

2、乘的矩阵?如果给定的矩阵是实对称矩阵,结论如何?提示：（1）根据可交换条件AB=BA作讨论；（2）考虑A的特征值与相似对角化,将一般矩阵问题转化为对角矩阵来讨论.5.设n阶矩阵A的各行各列都只有一个元素是1或-1，其余均为0。是否存在正整数k，使得Ak=I？若是，请给出你的证明；若否，请举出反例。提示：先观察二、三阶矩阵的情况；对一般矩阵，可考察A2，A3…的元素特点，找到与A的关系。6.矩阵乘法是线性代数中的基本算法之一。对两个n阶矩阵其乘积计算往往需要次乘法和次加法，很长时间以来人们对此深信不疑。然而，1969年Strassen通过对矩阵乘积元素之间的关系分析，构造出了一种只需

3、次乘法的矩阵相乘运算。其原理是首先将阶的矩阵和进行2X2分块：然后采用如下7次矩阵乘法和18次矩阵加法：，；，；，；.在上述计算中，对各子块递归使用该Strassen算法，最后获得矩阵。请仔细分析一下上述过程，获得新型的矩阵乘法计算方案，使得计算总量更少。提示：利用分块和递归技术，并对数据进行合理划分。7.设A是n×n矩阵，则A可逆的充分必要条件是存在常数项不为0的多项式g(x)，使得g(A)=0。提示：利用A的特征多项式证明。8.矩阵的Kronecker积是一种新的矩阵运算，在信号传输预处理，自动控制，规划理论，图像处理等工程领域中有着广泛的应用。其定义如下：定义：设则称为矩阵与

4、的Kronecker积（或称直积，张量积）。试证明Kronecker积满足下面的几个性质：1）；;2）;3）;4）;5）;提示：根据Kronecker积的定义和分块矩阵的乘法证明。9.设阶矩阵，其中表示的第i列。定义算符试通过Kronecker积的定义和该算符将矩阵方程转换成线性方程组的形式，其中，提示：利用Kronecker积和向量化算符将原方程转换为：从而将原矩阵方程转换为线性方程组，方便求解。10.对于同型矩阵，定义一种乘法运算，使得任意都有并按照第一题的形式尽可能给出这种矩阵运算的性质。提示：验证Hadamard积交换律，分配率，结合律，推导其转置运算，逆运算等性质。11.

5、(Cayley-Hamilton定理)若是的特征值，证明若可逆，通过该式写出的表达式。提示：利用伴随矩阵的性质及的特征多项式。12.行随机矩阵是指矩阵的行和均等于1的非负矩阵，列随机矩阵是指列和等于1的非负矩阵，而同时满足这两个条件的非负矩阵就是双随机矩阵。请尝试给出随机矩阵的性质和应用。13.（LU分解）设A是矩阵，我们可以通过初等行变换将A化为阶梯形矩阵。由此证明：A可以分解为（或）。其中L是一个对角线元素全为1的下三角矩阵，U是阶梯形矩阵，P是一个m阶置换矩阵（单位矩阵经过若干次行交换得到的矩阵）。提示：（1）利用矩阵初等变换与初等矩阵的关系；（2）对矩阵的阶数用数学归纳法。

6、14.利用矩阵的LU分解给出线性方程组的较为简便的求解方法。设A为4阶方阵，且，请给出方程组解的公式。提示化为两个容易求解的（三角形）方程组，逐层代入求解。15.求所有满足的三阶方阵。提示易得不等式，再分情况讨论。16.设A是矩阵，则以A的列向量确定的平行四边形的面积等于

7、detA

8、；设A是矩阵，则以A的列向量确定的平行六面体的体积等于

9、detA

10、。提示先讨论对角形行列式，一般情况化为对角形。17.行列式的定义有两种常用的方式：一种用排列的“逆序数”方式，一种用按行展开的“归纳法”方式，请探求两种方式的等价性，并给出你的证明。提示：可对行列式的阶数用归纳法。18.关于矩阵行列式的计

11、算有很多常用方法，例如：化三角形法、按行（列）展开法、递推法、拆元法以及利用线性代数方程组的解、利用方阵特征值与行列式的关系等等。请试着对其归纳总结，举例说明各种方法的适用情况并比较其优劣。19.已知：(2)若，其中互不相等，令，则，。试利用上面两个结果推导下面行列式的计算公式：.提示：20.设(1)由数生成的范德蒙矩阵记为，即；(2)设,令，，则矩阵称为由实数生成的等幂和矩阵.试证明：(1)(2)实数仅有个互异的充要条件是提示：（1）利用矩阵乘积的定义容易得到证明；