江苏高考数学二轮复习专题一第3讲平面向量及其运算学案理.doc

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1、第3讲　平面向量及其运算高考定位　平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求.主要考查：(1)平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档；(2)平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；(3)向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.真题感悟1.(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·＝0，则点A的横坐标为________.解析　因为·＝0，

2、所以AB⊥CD，又点C为AB的中点，所以∠BAD＝45°.设直线l的倾斜角为θ，直线AB的斜率为k，则tanθ＝2，k＝tan＝－3.又B(5，0)，所以直线AB的方程为y＝－3(x－5)，又A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，联立直线AB与直线l的方程，得所以点A的横坐标为3.答案　32.(2017·江苏卷)如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝________.解析　如图，设＝m，＝n，15则在△ODC中有OD＝m，DC＝n，OC＝，∠OCD＝45°，由tanα＝7，得cos

3、α＝，又由余弦定理知①＋②得4－2n－m＝0，即m＝10－5n，代入①得12n2－49n＋49＝0，解得n＝或n＝，当n＝时，m＝10－5×＝－<0(不合题意，舍去)，当n＝时，m＝10－5×＝，故m＋n＝＋＝3.答案　33.(2016·江苏卷)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________.解析　设＝a，＝b，则·＝(－a)·(－b)＝a·b＝4.又∵D为BC中点，E，F为AD的两个三等分点，则＝(＋)＝a＋b，15＝＝a＋b，＝＝a＋b，＝＋＝－a＋a＋b＝－a＋b，＝＋＝－b＋a＋b＝a－b，则·＝·＝－a2

4、－b2＋a·b＝－(a2＋b2)＋×4＝－1.可得a2＋b2＝.又＝＋＝－a＋a＋b＝－a＋b，＝＋＝－b＋a＋b＝a－b，则·＝·＝－(a2＋b2)＋a·b＝－×＋×4＝.答案　考点整合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一实数λ，使b＝λa.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥ba＝λbx1y

5、2－x2y1＝0.(2)a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0.3.平面向量的三个性质(1)若a＝(x，y)，则

6、a

7、＝＝.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

8、AB

9、＝.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是＝λ1＋λ2(其中λ1＋λ2＝1).15(2)三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则向量与向量，的关系是＝(＋).(3)三角形重心坐标的求法：G为△ABC的重心＋＋＝0G.热点一　平面向量的线性运算【例1】

10、(1)(2018·南京三模)在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝2，BC＝3，D，E是线段AC的三等分点，则·的值为________.(2)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若·＝1，则λ的值为________.解析　(1)由题意得·＝(＋)·(＋)＝·＝·＝·＝2＋·＋2＝×9＋×2×3×cos120°＋×4＝.(2)法一　如图，＝＋＝＋，＝＋＝＋＝＋，所以·＝·＝·＋2＋2＝×2×2×cos120°＋＋＝1，解得λ＝2.法二　建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：15A(0，1)，C(0，－1)，B

11、(－，0)，D(，0).由BC＝3BE，DC＝λDF，可求点E，F的坐标分别为E，F，∴·＝·＝－2＋＝1，解得λ＝2.答案　(1)　(2)2探究提高　用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式求解.【训练1】(1)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________.(2)(2015·北京卷)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x