线性代数 教学课件 作者 侯亚君 1_数学实验 第5章数学实验5.ppt

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1、数学实验5首页上页下页返回结束在本次实验中，介绍与向量组的正交化有关的矩阵分解，如何求方阵的特征值与特征向量，以及如何通过正交变换化二次型为标准形.实验5.1向量组的正交化与矩阵的QR分解A=（a1,a2,…,an）.MATLAB中不采用Schmidt算法将A的列向量组正交化，因该算法对误差的积累比较给定一个线性无关的向量组a1,a2,…,an,令首页上页下页返回结束敏感，而用更好的算法编成了矩阵正交分解子程序qr.m.首页上页下页返回结束是n阶正交矩阵，当n

2、是待求的规范正交向量当m=n时，输出的变元Q其列组就是待求的规范正交向量组，R是一个n阶可逆的上三角矩阵.而Q是m阶正交调用格式：[Q,R]=qr(A)，得到的Q和R满足QR=A.组.变元R是一个m×n行阶梯形矩阵，设A是m×n矩阵，首页上页下页返回结束例5.19将下列向量组正交化解>>a1=[1;0;-1;1];a2=[1;-1;0;1];a3=[-1;1;1;0];>>[Q,R]=qr(A)>>A=[a1,a2,a3];运行结果为首页上页下页返回结束Q=-0.57740.25820.1690-

3、0.75590-0.7746-0.5071-0.3780-0.57740.2582-0.67610.37800.57740.5164-0.5071-0.3780R=-1.7321-1.15471.154701.2910-0.516400-1.1832000Q的前3列为所要求的规范正正交向量组实验5.2特征值与特征向量的求法步骤的函数.（1）用f=poly(A)求n阶方阵A的特征多项式系数（2）用lamda=roots(f)求特征多项式f的全部根向量f（表示为行向量）；MATLAB提供了计算方阵的特

4、征值和特征向量各首页上页下页返回结束（表示为列向量）；这三个步骤是：首页上页下页返回结束实际上MATLAB已把求特征根和特征向量的步骤（3）用p=null([lamda*E-A])直接给出基础解系p，调用格式[p,lamda]=eig(A).特征向量，进行了集成化，便是A的特征向量.利用库函数eig可同时求A的特征值与例5.20求的特征值和特征向量.r=roots(f);r=real(r)首页上页下页返回结束A=[324;202;423];f=poly(A),解在MATLAB编辑器中建立M文件如下

5、：B1=r(1)*eye(3)-A;p1=null(B1,'r')B1=rref(B1,1e-12);误差造成的虚部求特征根，并去掉设定容差1×10-12,以保证B1奇异性,否则输出p1是零向量把第一个特征值代入方程(λE-A)x=0，求其基础解系首页上页下页返回结束f=运行结果为B2=r(2)*eye(3)-A;p2=null(B2,'r')p3=null(B3,'r')1.0000-6.000-15.0000-8.0000r=可知A的特征多项式8.0000-1.0000-1.0000后两个是重

6、根三个特征根即特征值，首页上页下页返回结束p2=p3=p1=1.00001.00000.5000-0.500001.0000-1.000001.0000对应于特征值8的线性无关特征向量对应于二重特征值-1，有两个线性无关特征向量也可用函数eig来求A的特征值与特征向量.首页上页下页返回结束的线性无关特征向量是不同的.其实特征向量本来不若两者相互可以线性表示，>>A=[324;202;423];都是正确的，是唯一的，也是等价的.两种方法解出的对应于二重特征值-1的会发现：>>[p,lamda]=ei

7、g(A)P=-0.4941-0.55800.6667-0.47200.81610.33330.73010.15000.6667lamda]=0-1.00000-1.000000008.0000实验5.3二次型的标准形x=Py化成标准形对于实对称阵A，找一正交阵P，使二次型f(x1,x2,…,xn)=xTAx，首页上页下页返回结束经过正交变换等价于首页上页下页返回结束此用函数eig就可以为实对阵A找到正交阵P.线性无关的特征向量组已是一个规范正交向量组，在MATLAB中，对于实对称阵A，函数eig给

8、出的因例5.21用正交变换法将下列二次型化为标准形解在MATLAB中编写M文件如下：clearA=[0-11;-101;110];％输入二次型矩阵首页上页下页返回结束[P,D]=eig(A);％求矩阵A的特征值与特征向量disp(’正交矩阵为’);disp(’对角矩阵为’);Ddisp(’标准化的二次型为’);f=[y1y2y3]*D*[y1;y2;y3]symsy1y2y3P显示字符串’正交矩阵为’首页上页下页返回结束-0.57740.8163-0.0166-0.5774-0.3