高等数学 教学课件 作者 曹瑞成 姜海勤 主编 第05章5-1.ppt

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1、第五章定积分第一节定积分的概念第二节定积分的性质第四节定积分的换元法和分部积分法第五节反常积分第三节微积分基本公式第六节定积分的应用第一节定积分的概念三、定积分的几何意义一、定积分问题的引例二、定积分的概念abxyo1曲边梯形的面积一、定积分问题的引例所围成和abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）y=f(x)(1)分割如图所示,在区间[a,b]内插入n-1个分点:把[a,b]分成n个小区间[x0,x1],[x1,x2],…,[xn-1,xn],区间长度为(2)近似代替

2、在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点,以Δxi为底,f(ξi)为高的小矩形的面积为xi(3)求和n个曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为(4)取极限当小区间长度的最大值时,如果此时和式的极限存在,则此极限值就是曲边梯形的面积,即2.变速直线运动的路程思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．设某物体作直线运动,已知速度v=v(t)是时间间隔[T1,T2]上的t的一个连续函数，且t≥0，求物体在这段时间内所经过的路程.（1）分割（3）求和（4）取极限路

3、程的精确值部分路程值某时刻的速度(2)近似代替定义5.1设函数y=f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]内任意插入n-1个分点，把[a,b]分成n个小区间[x0，x1]，[x1，x2]，…，[xn-1，xn]，区间长度为⊿xi=xi-xi-1(i=1,2,…,n).在每一个小区间[xi-1,xi]上任取一点,作乘积，并求和，记，若极限存在,则称函数f(x)在[a,b]上可积,并称此极限值为函数f(x)在[a,b]上的定积分，记作,即(5-1)二、定积分的概念1.定积分的定义其中f(x)称为被积函数,x称为积分变量,称为被积表达式,a,b分别称为积分下、

4、上限.被积函数被积表达式积分变量积分上限积分下限积分和注解(4)当a=b时,(5)当a≠b时,2.函数可积的充分条件定理5.1若函数f(x)在[a,b]上连续,则函数f(x)在[a,b]上可积.即存在.定理5.2若函数f(x)在[a,b]上有界,且只有有限个第一类间断点,则函数f(x)在[a,b]上可积.即存在.例1利用定义计算定积分解曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值三、定积分的几何意义几何意义：1.定积分的几何意义是什么？2.用定积分的几何意义解释:3.已知猜想例2利用定义计算定积分解证明利用对数的性质得极限运算与对数运算换序得故