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《高等数学 教学课件 作者 曹瑞成 姜海勤 主编 第02章2-4.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四节隐函数及参数方程所确定一、隐函数的求导法则二、参数方程所确定的函数的求导法则的函数的导数一、隐函数的求导法则把一个隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化.由解析式y=f(x)(x∈D)表示,这样描述的函数称为显函数.由一个方程F(x,y)=0所确定的函数,称为隐函数.一般地,如果变量x和y满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下,当x取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的y值存在,那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数.例如,方程,确定了函数.1.隐函数求导法隐函数怎样求导呢？一种想法是从方程F(
2、x,y)=0中解出y，成为显式y=f(x)，然后求导．但这种想法有时行不通，因为有些隐函数不能表示成显函数，有时或者没有必要表示成显函数．例如y+x–exy=0，就很难解出y=f(x)来．那么此时怎样求导呢？下面举例说明．例1求由方程x2+y2=R2(R为常数)所确定的隐函数的导数.解方程两边求微分,d(x2+y2)=d(R2),即dx2+dy2=dR2,利用微分形式不变性,得dx2=2xdx,dy2=2ydy,而常数的微分为0,即dR2=0,所以有2xdx+2ydy=0,由此解得或例2求由方程所确定的隐函数在x=0处的导数.因
3、为当x=0时,从原方程得y=0,所以.解方程两边分别求微分,由于方程两边的微分相等,由此得所以5y4dy+2dy-dx-21x6dx=0,如果先解出y,然后再求导，结果如何？请同学们一试.例3设方程y+x–exy=0确定函数y=y(x)，求dy．解方程两边求微分d(y+x-exy)=0，即dx+dy-dexy=0，dx+dy-exyd(xy)=0，dx+dy-exy(ydx+xdy)=0,移项，得(1-xexy)dy=(yexy-1)dx，从而解得例4求椭圆在点处的切线方程.解由导数的几何意义知道,所求切线的斜率为椭圆方程的两边
4、分别对x求导,有从而当x=2时,代入上式得于是所求的切线方程为即注意到y=y(x),则得2.对数求导法方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:下面通过例子来说明这种方法例5解等式两边取对数,得两边求微分,得对于此类幂指函数，还能用下面的方法求导：设，运用复合函数的微分法求导，得．例6求的导数两边对x求导数,得于是解两边取对数(假定x>4),得二、由参数方程所确定的函数的求导法则求导方法由复合函数及反函数的求导法则得例7已知椭圆的参数方程为求椭圆在相应的点处的切线方程解当时,
5、椭圆上的相应点的坐标是:曲线在点的切线斜率为:代入点斜式方程,即得椭圆在点处的切线方程化简后得例8已知抛射体的运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向解先求速度的大小由于速度的水平分量为铅直分量为所以抛射体运动速度的大小为再求速度的方向,也就是轨迹的切线方向,设是切线的倾角,则根据导数的几何意义,得所以,在抛射体刚射出(即t=0)时,当时这时,运动方向是水平的,即抛物体达到最高点.若抛射体与地平线成角α，以初速v0射出，则有vx=v0cosα,vy=v0sinα.三、相关变化率相关变化率的定义:例9解仰角增加率
6、即观察员视线的仰角增加率是0.14rad/s例10若圆的半径以2cm/s的等速率增加，当圆的半径r=10cm时，圆的面积增加的速率是多少？解设圆的面积为A(r)=πr2，其中r是时间t的函数，则圆的面积增加的速率是已知圆的半径r关于时间t是以等速率2cm/s增加，即＝2．从而当r=10时，圆的面积增加的速率为例11某船受一绳索牵引靠岸，绞盘位于岸边比水面高4m,绳索在绞盘上卷绕的速度是2m/s，问船距岸边8m处的速度为多少？解设船距岸边的距离为x=x(t)，距绞盘的距离为y=y(t)（如图2-7所示），则有y2-x2=42（1）
7、由式（1）可得，或（2）已知绳索在绞盘上卷绕的速度是2m/s，即代入式(2),(3)又由x=8（船离岸边8m）和（1）式，得,将x=8和代入（3），得，即当船离岸边8m处的速度为m/s．
