高等数学 教学课件 作者 曹瑞成 姜海勤 主编 第03章3-1.ppt

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1、第三章导数与微分的应用第一节微分中值定理与洛必达法则第二节函数的单调性、极值与最值第三节曲线的凹凸性与函数图形的描绘第四节微分的应用第五节﹡曲线的弧微分与曲率第一节微分中值定理与洛必达法则一、微分中值定理二、洛必达法则一、微分中值定理1.罗尔中值定理定理3.1(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b),那么至少存在一点(a,b),使得f'(ξ)=0.罗尔定理的几何意义：在两个高度相同的点A、B间的一段连续曲线上，除端点外如果各点都有不垂直于x轴的切线，那么至少有一点处的切线是水平的(如图

2、3-1所示),P点处的切线与弦平行．图3-1证应该注意的是，罗尔定理要求函数同时满足三个条件：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；且f(a)=f(b).否则结论就可能不成立．图3—2直观地说明了当其中一个条件不满足时，结论不能成立的例子．例例上例说明罗尔定理的条件是结论成立的充分条件,但不是必要条件.2)罗尔定理的结论中不是唯一的.1)罗尔定理的三个条件对于结论的成立都是重要的.关于罗尔定理的几点说明3)将罗尔定理的条件1.2.换为[a,b]上可导,结论仍成立.例1验证函数f(x)=x2-5x+4在区间[2,3]上罗尔定理成立，并求出ξ．解　因为f(x)

3、=x2-5x+4在区间[2,3]上连续；f'(x)=2x-5在区间(2,3)内存在；且f(2)=f(3)．所以f(x)满足罗尔定理的三个条件．令f'(x)=2x-5=0，得x=2.5，即存在ξ=2.5，使f'(ξ)=0．由罗尔定理可知，如果函数y=f(x)满足定理的三个条件，则方程f(x)在区间(a,b)内至少有一个实根．这个结论常被用来证明某些方程的根的存在性．例2如果方程ax3+bx2+cx=0有正根x0，证明方程3ax2+2bx+c=0必定在(0,x0)内有根．证　设f(x)=ax3+bx2+cx，则f(x)在[0,x0]上连续，f(x)=3ax2+2bx+c在(0

4、,x0)内存在，且f(0)=f(x0)．所以f(x)在[0,x0]上满足罗尔定理的条件．由罗尔定理的结论，在(0,x0)内至少存在一点ξ，使，即ξ为3ax2+2bx+c=0方程的根．例﹡证则由根的存在定理,知即x0为方程的小于1的正实根.,矛盾.所以x0为方程的唯一实根.定理3.2(拉格朗日定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么至少存在一点，使得注意:与罗尔定理的条件相比,去掉了f(a)=f(b).拉格朗日中值定理的几何意义：数值表示连接端点A(a,f(a)),B(b,f(b))的线段、即弦AB的斜率，而f‘(ξ)为曲线在P点处的切

5、线斜率（如图3-3所示）,定理表示,如果函数f(x)在[a,b]上连续，且除端点外，处处都有不垂直于x轴的切线，那么在曲线上至少有一点处的切线与弦AB平行．或.图3—3xyabPOAB图3—4罗尔定理是拉格朗日定理当弦为水平时的特例．如何证明拉格朗日定理呢？从图3-4看，如果能把弓形ABP（压缩）放置到水平位置，使AB与AD重合，它就是罗尔定理的几何意义．为此，需要将ΔABD移掉，即在对应的f(x)中减去对应于ΔABD中的一段MN．具体地讲,构造一个辅助函数F(x),使证令,显然F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=f(a)，即F(x)满

6、足罗尔定理的条件．所以，至少存在一点，使F'(ξ)=0，即．注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.拉格朗日中值公式的几种表达形式推论1推论2例3证例4证由上式得定理3.3(柯西定理)如果函数f(x)和F(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且在(a,b)内F'(x)恒不为零，那么至少存在一点，使得.柯西定理的几何意义:在曲线弧AB上至少有一点P(F(ξ),f(ξ)),在该点处的切线平行于弦AB.证分析:结论可变形为例5设函数f(x)在闭

7、区间[0,1]上可导,证明至少存在一点,使所以,在(0,1)内存在一点ξ,使得二、洛必达法则1.型未定式法则1设函数f(x)和g(x)满足(1)；(2)函数f(x),g(x)在x0的某个邻域内（点x0可除外）可导,且；(3)(A可以是有限数，也可为无穷大)，则．注：例6解例7解例8求．解,最后的极限仍然是型未定式，继续使用洛必达法则得2.型未定式法则2设函数f(x)和g(x)满足(1)；(2)函数f(x),g(x)在x0的某个邻域内（点x0可除外）可导,且；(3)(A可以是有限数，也可为无穷大)，则与法则1相同，法则2对于时的