电路基础与实践 教学课件 作者 刘科 第8章非正弦周期电流电路稳态.ppt

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1、第8章非正弦周期电流电路稳态分析8.1非正弦周期函数的傅里叶级数展开式8.2非正弦周期量的基本知识8.3非正弦周期电流电路的稳态分析小结8.1非正弦周期函数的傅里叶级数展开式一、非正弦周期电流电路的基本概念变化的周期T和频率f（a）（b）（c）图8-1几种常见的周期非正弦波（a）尖形波（b）矩形波（c）三角波谐波分析法图8-2谐波分析法分析示意图图8-3矩形波的合成二、非正弦周期函数的傅里叶级数展开式1．三角形式的傅里叶级数展开式给定的周期函数f（t）的周期为T，角频率则f（t）的傅里叶级数展开式为利用三角函数公

2、式式中a0，ak，bk称为傅里叶系数，可由下列积分求得:各系数之间存在如下关系A0是f（t）一周期时间内的平均值，称直流分量。k=1的正弦波称为基波；k=2的正弦波称为二次谐波；k=n的正弦波，称为n次谐波。当k为奇数时称为奇次谐波；k为偶数时，称为偶次谐波。非正弦周期波的傅里叶级数展开，关键是计算傅里叶系数的问题。表1.1部分电器图形符号2．指数形式的傅里叶级数展开式式中的Fk是复常数。利用欧拉公式，我们可以将三角形式的傅里叶级数表示为复指数形式的傅里叶级数例8-1已知矩形周期电压的波形如图8-4所示。求u（t

3、）的傅里叶级数。图8-4矩形波解图示矩形周期电压在一个周期内的表示式为由式8-3可知:由此可得当k为奇数时当k为偶数时三、非正弦周期函数的傅里叶级数展开式的简化综上所述，根据周期函数的对称性可以预先判断它所包含的谐波分量的类型，定性地判定哪些谐波分量不存在（这在工程上常常是有用的），从而使傅里叶系数的计算得到简化。3）周期函数为偶函数时，即满足f（t）=f（-t）波形对称于纵轴。如全波整流波形、矩形波都是偶函数。它们的傅里叶级数展开式中bk=0，即无正弦谐波分量，只含余弦谐波分量，因为余弦函数本身就是偶函数。周期

4、函数表示为在电路中遇到的非正弦周期函数，大多都具有某种对称性。在对称波形的傅里叶级数中，有些谐波分量不存在。因此利用波形对称性与谐波分量的关系，可以简化傅里叶系数的计算。1）周期函数的波形在横轴上、下部分包围的面积相等，此时函数的平均值等于零，傅里叶级数展开式中a0=0，无直流分量。2）周期函数为奇函数时，即满足f（t）=-f（-t），波形对称于原点。则a0=0，ak=0此时例8-2试把图8-5所示振幅为50V、周期为0.02s的三角波电压分解为傅里叶级数（取至五次谐波）。图8-5三角波解电压基波的角频率为函数为

5、奇函数，则a0=0，ak=0，此时可得四、非正弦周期函数的傅里叶级数查表求法表8-1几个典型的周期函数的傅里叶级数展开式8.2非正弦周期量的基本知识一、有效值、平均值平、均功率1．有效值周期函数f（t）的有效值定义式为以周期电流为例，有效值定义式为若将电流i分解成傅里叶级数将该表达式代入电流i效值定义式得将上式积分号内直流分量与各次谐波之和的平方展开，结果有以下四种类型:电流i的有效值可按下式计算同理，非正弦周期电压的有效值为所以，非正弦周期电流和电压的有效值等于各次谐波有效值平方和的平方根。各次谐波有效值与最大

6、值之间的关系为例8-3已知非正弦周期电流的傅里叶级数展开式为i=100－63.7sinωt－31.8sin2ωt－21.1sin3ωtA，求其有效值。解先求各次谐波有效值所以由式8-5得电流i的有效值为112.9A2．平均值实践中还会用到平均值的概念。以电流为例，其定义为即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。式8-8也称为整流平均值，它相当于正弦电流经全波整流后的平均值。例如，当时，其平均值为同理，电压平均值的表示式为注意：非正弦交流电路中的直流分量和平均值是二个不同的概念，应加以区分。3．平均功率设

7、有一个二端网络，在非正弦周期电压u的作用下产生非正弦周期电流i，若选择电压和电流的方向一致，此二端网络吸收的瞬时功率和平均功率为若一个二端网络，端口的非正弦周期电压和电流展开成傅里叶级数分别为则二端网络吸收的平均功率为将上式积分号内两个积数的乘积展开，分别计算各乘积项在一个周期内的平均值。因此，二端网络吸收的平均功率可按下式计算其中，是k次谐波的平均功率，分析表明：1）非正弦交流电路的平均功率，等于直流分量功率和各次谐波平均功率之和。非正弦交流电路中，不同频率的各次谐波平均功率满足叠加性，而在直流电路和单一频率多

8、电源正弦交流电路的有功功率不满足叠加性。2）非正弦交流电路中，同次谐波电压和电流形成平均功率，而不同次谐波电压和电流不形成平均功率。这是由于三角函数的正交性所决定的。例8-4流过R=10电阻的电流为求其平均功率。解:根据式8-10得2有效值、平均值平、均功率的计算非正弦周期电路的有效值和平均值平均功率的计算时应注意：等效正弦量的有效值应等于已知非正弦周期量的有效值；等效正