离散数学 教学课件 作者 杨圣洪 张英杰 陈义明ch4代数系统.ppt

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1、第4章代数系统杨圣洪发展历史代数学或抽象代数是数学的一个古老分支，历史悠久近一百年来，随着数学的发展和应用的需要，一系列新的代数领域被建立起来，大大的扩充了代数学的研究范围，形成了所谓的近世代数学。在19世纪初，数学中一个长达三世纪之久而未能解决的难题，即五次和五次以上方程的根式解问题被挪威青年数学家阿贝尔（N.H.Abel,1802-1829）和法国青年数学家伽罗瓦（E.Galois,1811-1832）所彻底解决，他们在解决这一问题时引入了一种新概念和新思想，即置换群的理论，它对今后数学的发展，特别是代数学的发展起着巨大的关键性作用。因此可以说，伽罗瓦和

2、阿贝尔是群论和抽象代数的真正创始人。发展历史伽罗瓦是法国巴黎郊区一个小镇镇长的儿子。他的父亲是一个自由主义者，母亲受过良好的教育，是伽罗华的启蒙老师。12岁以前，伽罗华一直是在他母亲的教育下长大的，在这时期他学习了希腊语、拉丁文和通常的算术课。1923年伽罗华离开双亲，考入巴黎预科学校路易勒——格兰学院(皇家中学)，开始接受正规学校的教育。在第三年，他报名选学了第一门数学课。由于他的老师深刻而生动的讲授，伽罗华对数学产生了浓厚的兴趣，他很快地学完了通常规定的课程，这些功课的学习，使他思路开阔，科学创造的思维能力得到了训练和提高。1829年3月他在《纯粹与应用

3、数学年报》上发表了他的第一篇论文——《周期连分数的一个定理的证明》。这时的伽罗华还是一位中学生。发展历史在1830年，19岁的伽罗瓦提出了解决这一类问题的系统理论和方法，从而创立了群论。群论是近世抽象代数的基础，它是许多实际问题的数学模型，应用极其广泛，可以推出五次以上一般代数方程根式不可解用圆规、直尺（无刻度的尺）不可能解决：三等分角问题(将任一个给定的角三等分)、立方倍积问题(求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍)、化圆为方问题(求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等)这个问题。伽罗华20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级

4、革命运动，曾两次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅21岁。伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了14年，才由刘维尔(1809～1882)编辑出版了他的部分文章发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭新的天地，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究对物理、化学等科学有直接的实践意义，成为众多学科的基础4.1、什么是代数运算小学的“+÷×－”四

5、则运算可知，两个整数相加、相减、相乘仍是整数，相除不一定是整数。今天我们将学习与“+－×÷”类似的运算，姑且称为“广义的加减乘除”。当将变量的取值范围，限制为A={1,2}的幂集,即为P(A)={,{2},{1},{1,2}}，可在P(A)中定义广义“加”与“乘”,xP(A),yP(A)x+y=xy,xy=xy,有:+==,+{1}={1}={1}+{2}={2}={2}+{1,2}={1,2}={1,2}{1}+={1}={1},{1}+{1}={1}{1}={1}{1}+{2}={1}{2}={1,2}

6、{1}+{1,2}={1}{1,2}={1,2}==,{1}={1}={2}={2}={1,2}={1,2}={1}={1}=,{1}{1}={1}{1}={1}{1}{2}={1}{2}={1}{1,2}={1}{1,2}=4.1、什么是代数运算由“+÷×－”四则运算，知道两个整数相加、相减、相乘仍是整数，相除不一定是整数。今天我们将学习与“+－×÷”类似的运算，姑且称为“广义的加减乘除”。当将变量的取值范围{0,1}，则可定义广义“加”与“乘”,xBoolean,yBoolean

7、x+y=xy,xy=xy,有如下表达式:0+0=00=0,0+1=01=11+0=10=1,1+1=11=100=00=0,01=01=010=10=0,11=11=14.1、什么是代数运算我们很小就学习的“+÷×－”四则运算，知道两个整数相加、相减、相乘仍是整数，相除不一定是整数。今天我们将学习与“+－×÷”类似的运算，姑且称为“广义的加减乘除”。当将变量的取值范围n阶方阵A(n,n),A中每个元素的值为实数，则定义广义“加”、“减”、“乘”。对应元素加减乘x+y=(x(i,j)+y(i,j)),x-y=(x(i,j)-y(i

8、,j)),xy=(x(i,j)y(i,j)),普